1、 A基础达标1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2x By23xCy26x Dy26x解析：选C.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，由题意知，故p3.因此，所求抛物线的标准方程为y26x.2已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选C.因为直线ykxk恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点3过抛物线y22px(p0)的焦点作一
2、条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则为()A4 B4Cp2 Dp2解析：选B.法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点A，B，4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2p2，则4.4有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A2p B4pC6p D8p解析：选B.设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则AOx30，则OA方程为yx.由得y2p，所以AOB的边长为4p.5直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若AB4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解
3、析：选C.直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.6设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|_解析：如图，过A作ADx轴于D.在RtAFD中，AFD60.令FDm，则FA2m.ADm.根据抛物线的定义可知，pm2m.所以mp.所以| p.答案：p7直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：直线yx3与
4、抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x210x90，解得，和，所以AP10，BQ2，PQ8，所以梯形APQB的面积为48.答案：488.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴 1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为_m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(1，1)，代入抛物线方程得p，抛物线x2y，代入点(x，2)，得x，即水池半径最小为r(1)m，水池直径最小为2r(22)m.答案：229已
5、知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，所以A、B两点坐标为，所以AB2|p|.因为OAB的面积为4，所以2|p|4，所以p2.所以抛物线的标准方程为y24x.10.如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设kABk(k0)，因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以kACk(k0)，因为直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整理得k2x2(8k24
6、k1)x16k216k40.因为A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解所以4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，所以kBC，所以直线BC的斜率为定值B能力提升1以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知AB4，DE2，则C的焦点到准线的距离为_解析：由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由AB4，DE2，可取A，D，设O为坐标原点，由OAOD，得85，得p4.答案：42已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_ 解析：如图所示，由
7、题意，可得OF1，由抛物线的定义，得AFAM，因为AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，所以3.所以AFAM3OF3.设A，所以13，所以2，解得y02.所以点A的坐标是(2，2)答案：(2，2)3已知定点F(2，0)和定直线l：x2，动圆P过定点F与定直线l相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程； (2)若以M(2，3)为圆心的圆与曲线C交于两个不同的点A、B，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程解：(1)由题意知，点P到F的距离等于P到l的距离，所以P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，它的方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)
8、，则y8x1，y8x2，所以.由AB为圆M(2，3)的直径知，y2y16，故直线的斜率为.所以直线AB的方程为y3(x2)，即4x3y10.4(选做题)如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28.(2)证明：连结MN，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x消x得：y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)y1y28，所以2为定值