1、江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三（理）数学试题201911第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A，B2，1，0，2，则AB 答案：1，0考点：集合交集运算解析：A， A(2，2)， 又B2，1，0，2， AB1，02函数的定义域是 答案：(1，7)考点：函数的定义域解析：由题意得：，解得1x7，故原函数的定义域是(1，7)3我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年“割圆术”的第一步是
2、计算单位圆内接正六边形的面积S6，则S6 答案：考点：正多边形面积解析：由题意知，该正六边形为1，是由6个全等的边长为1的等边三角形构成，故面积为： 4设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则a 答案：3考点：导数的几何意义解析： 由切线方程为，可知，故a35已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是 答案：(，)考点：单位向量的坐标表示解析：点A(1，3)，B(4，1)， (3，4)， 则(3，4)(，)6已知是定义在R上的奇函数，且当x0时，若，则a 答案：2考点：奇函数的性质解析：是定义在R上的奇函数， 解得a27已知关于x的不等式的解集是(，1)(，)，则实数a的
3、值为 答案：2考点：分式不等式解析：由题意知a0，且，故a28已知，为单位向量，且，若，则cos 答案：考点：利用数量积求向量夹角解析：， ， cos9已知函数(A0，0，)是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若，则 答案：考点：三角函数的图像与性质解析：函数(A0，0，)是奇函数， 0， 又的最小正周期为， 2，即 将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得 则 ， ，解得A2，故， 10函数定义域为R，为偶函数，且对，满足 0，若1，则不等式的解集为 答案：(1，4)考点：函数的奇偶性与单调性的结合解析：为偶函数 的对称轴为
4、x1 对，满足0， 在(，1)上递减，又对称轴为x1，则在(1，)上递增， ，1，转化为02，解得1x4， 故原不等式的解集为(1，4)11已知正实数x，y满足，则的最小值为 答案：考点：基本不等式解析：，且x2，y1， 当且仅当时，取“”12如图，在ABC中，AB3，AC2，若，则 答案：6考点：平面向量数量积解析：因为，所以，即，把AC2代入可得：， 则13已知A、B、C为ABC的内角，若3tanAtanB0，则角C的取值范围为 答案：(0，考点：诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质解析：因为3tanAtanB0，可知A、B中一个锐角，一个钝角，则角C必为锐角 ，则
5、tanA0，A为锐角 ，当且仅当取“”， 则0C14若对任意的x1，e2，都有恒成立，则实数a的取值范围是 答案：1，考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：对任意的x1，e2 恒成立，对任意的x1，e2 恒成立， 接下来研究，则，列表如下：x1，e)e(e，e20 又， 当a0时，解得； 当a0时，01成立； 当a0时，解得 综上所述，实数a的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）已知函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在区间0，上的最大值16（本题满分14分）已知a、b、c分别为AB
6、C三个内角A、B、C的对边，且acosBbc（1）求A；（2）若a4，D是BC中点，AD3，求ABC的面积17（本题满分14分）某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，其中4xl5)满足：当4x9时，(a，b为常数)；当9x15时，y5x85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大18（本题满分16分）已知点A(1，0)，B(0，1)，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，P
7、A与y轴交于点N，PB与x轴交于点M（1）设，试用表示m与n；（2）设(x，yR)，试用表示xy；（3）求xy的最小值19（本题满分16分）已知：定义在R上的函数的极大值为（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式有且只有一个整数解，求实数a的取值范围20（本题满分16分）已知函数(aR)（1）若函数在1，)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若al，求的最大值第II卷（附加题，共40分）21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知1是矩阵A的一个特征值，求点(1，2)在矩阵A对应的变换
8、作用下得到的点的坐标B选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是，求直线l被圆C截得的弦长C选修45：不等式选讲对任给的实数a(a0)和b，不等式恒成立，求x的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛，已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X表示该同学获得一等奖的总数，求X的概率分布和数学期望E(x)23（本小题满分10分）考察1，2，n的所有排列，将每种排列视为一个n元有序实数组A(，)，设n且n2，设为(，)的最大项，其中kl，2，n记数组(，)为B例如，A(1，2，3)时，B(1，2，3)；A(2，1，3)时，B(2，2，3)若数组B中的不同元素个数为2（1）若n4，求所有n元有序实数组A(，)的个数；（2）求所有n元有序实数组A(，)的个数