1、专题检测（十） 空间几何体的三视图、表面积及体积A组“124”满分练一、选择题1如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A.故选A.2(2019福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面内的正投影面积是()A. BC.D1解析：选A棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1木块在平面内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为的等边三角形，所以木块在平面内的正投影面积是2.
2、故选A.3已知矩形ABCD，AB2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于()A.B1C2D4解析：选B设BCa，AB2a，所以S12a2a4a2，S222aa4a2，S1S21.故选B.4设球O是正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6，则球O的半径为()A.B3C.D解析：选B如图，易知B1D过球心O，且B1D平面ACD1，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R，易知DMDB1，OMDB1a，截面圆半径ra，由截面圆面积Sr26，得ra，a6，球O的半径为R3.故选B.5(2
3、019武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥ABC1M 的体积VABC1M()A. BC.D解析：选CVABC1MVC1ABMSABMC1CABADC1C.故选C.6(2019武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. BC2D2解析：选B由三视图知，该几何体是由两个底面半径为1，高为2的圆锥组成的，所以该几何体的体积V2122.故选B.7在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥的体积为()A. BC6D2解析：选B由A
4、BC，ACD，ADB的面积分别为，且AB，AC，AD两两垂直，可得三个式子相乘可得(ABACAD)26，该三棱锥的体积VABACAD.故选B.8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A BC.D解析：选B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，过圆柱的轴线作一截面，如图由勾股定理得r.该圆柱的体积VSh1.故选B.9若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球已知正四面体的棱长为，则它的棱切球的体积为()A BCD解析：选B将棱长为的正四面体放入棱长为1的正方体中，则正四面体的棱为正方体的面对角线，所以正四面体的棱切球即为正方体的内切球，
5、则球的半径R，体积VR3.故选B.10已知点A，B，C，D均在球O上，ABBC，AC3.若三棱锥DABC体积的最大值为，则球O的表面积为()A36B16C12D解析：选B设ABC的外接圆的半径为r，ABBC，AC3，ABC120，2r2，SABC，ABC的外接圆的半径为.三棱锥DABC的体积的最大值为，点D到平面ABC的最大距离为3.设球O的半径为R，则r2R2(3R)2，解得R2，球O的表面积为4R216.故选B.11已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是()A18B16C12D8解析：选A设正三棱柱的棱长为2a，如图，取球心为O，过点O作OO垂直三棱柱的
6、上底面于点O，连接点O与上底面顶点A交对棱于点B.则ABa，AOa，OOa.在RtOOA中，由勾股定理，得OA2OO2OA2.OA，7a2a2a2.整理得a23，a.棱长为2a2.正三棱柱的体积V22 sin 60218.故选A.12.(2019福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A. BC.D解析：选C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C.二、填空题13(2019长春市质量监测(一)已知一所有棱长都是的
7、三棱锥，则该三棱锥的体积为_解析：记所有棱长都是的三棱锥为PABC，如图所示，取BC的中点D，连接AD，PD，作POAD于点O，则PO平面ABC，且OP，故三棱锥PABC的体积VSABCOP()2.答案：14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_解析：依题意知，四棱锥MEFGH为正四棱锥，正方形EFGH的边长为 ，四棱锥MEFGH的高为，所以四棱锥MEFGH的体积为.答案：15古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的
8、三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为_解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为3253363.答案：6316已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，ABBC，且PA8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9，则球O的表面积为_解析：设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9，得ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为ABBC，所以点D为AC的中点，所以DC3.因为PA平面ABC，易证PBBC，所以PC为球O的直径又PA8，所以ODPA4，所以ROC 5，
9、所以球O的表面积为S4R2100.答案：100B组“53”提速练1.(2019合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A2对B3对C4对D5对解析：选C由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥SABCD，平面SCD平面ABCD.因为ADDC，BCDC，且平面SCD平面ABCDDC，所以AD平面SCD，BC平面SCD，所以平面SAD平面SCD，平面SBC平面SCD.又由三视图知SCSD，同时由AD平面SCD，知ADSC，又SDADD, 所以SC平
10、面SAD，所以平面SBC平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对故选C.2在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为()A1 BC.D与M点的位置有关解析：选B，点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即为1.M为线段B1C1上的点，SMBC33，VMPBCVPMBC1.故选B.3已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为()A
11、. BC.D解析：选B由题意，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图所示，当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，当0BM时，截面为四边形，当BM时，截面为五边形故选B.4已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()A2B3C2D4解析：选C如图，不妨设N在B处，设AMh，CQm，则MB2h24，BQ2m24，MQ2(hm)24，由MB2BQ2MQ2，得m2hm20.h280h28，该直角三角形斜边MB2，故该直角三角形斜边
12、长的最小值为2.故选C.5(2019郑州市第二次质量预测)在ABC中，已知AB2，BC2，ABC45，D是边AC上的一点，将ABD沿BD折叠，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BMx，则x的取值范围是()A(0，2)B(，)C(，2)D(2，2)解析：选C将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，且点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，所以在图b中，AM平面BCD，MN，AN都与BD垂直，因此，折叠前在图a中，AMBD，垂足为N，在图a中可得当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近在图b中，由于AB是RtABM的斜边，BM是直角
13、边，所以BMAB，由此可得BM1BMAB，因为在RtAM1B中，BM1ABcos 452，所以BM2，即x2.故选C.6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BOAC，所以BO平面ACC1D.因为AB2，所以BO.因为D为棱AA1的中点，AA14，所以AD2，所以S梯形ACC1D(24)26，所以四棱锥BACC1D的体积为62.答案：27已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，
14、SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3，令y72hh3，则y722h2，令y0，得0h6，令y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：68(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_解析：该三棱锥侧面的斜高为 ，则S侧322，S底2，所以三棱锥的表面积S表23.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥S表rS底1，所以3r，所以r，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmaxr3.答案：3