1、江苏省常州市教育学会2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上.2.考试时间120分钟，试卷总分150分.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念，可得结果【详解】由，所以故选：D【点睛】本题主要考查交集的概念，属基础题.2.若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为（ ）.A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根据扇形的面积公式，可得结果.【详解】由其中为扇
2、形的圆心角，为扇形的半径故选：C【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属基础题.3.的值为（ ）.A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据换底公式以及可得结果.【详解】由故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算，属基础题.4.已知角的终边经过点，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的概念，可得结果.【详解】因为角的终边经过点所以故选：A【点睛】本题主要考查角终边过一点正切值的计算，属基础题.5.已知，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用诱导公式直接对等式进行变形即可.【详解】.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了数
3、学运算能力.6.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，并利用特殊值1，2，可得结果【详解】由，故故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较式子大小，同时要考虑借用特殊值比较大小，属基础题.7.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）.A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】.设向量与向量的夹角为则.又，所以，故选：C.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、求向量的模，属于基础题.8.函数（e是自然对数的底数）的图
4、象大致为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得，根据单调性以及值域，可得结果.【详解】因为所以，可知是递增的函数，所以为递减的函数，则是递减的函数，且所以则，所以A正确故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与值域判断函数的大致图像，属基础题.9.人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为.喷气式飞机起飞时，声音约为，一般说话时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍.A. B. C. 8D. 【答案】D【解析】【分析】根据代值计算，可以分别得到声音约为和的强度，可得结
5、果.【详解】由，所以当时，可得当当时，可得所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的故选：D【点睛】本题主要考查对数的计算，数基础题.10.关于函数，有下列四个论述，其中正确的个数为（ ）.是偶函数；在区间上单调递增；的最小正周期为；的值域为.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据函数的表达式，利用数形结合，可得结果.详解】由所以一个周期图像如图，可知，为偶函数，故对通过图形可知在区间上单调递增故对，函数最小正周期为，故对的值域为，故对故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的表示以及函数的性质，属中档题.11.已知是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P
6、为所在平面内一点，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用建系的方法，表示出，然后根据向量的坐标运算，化简变形，可得到结果【详解】如图设点，由是斜边长为2的等腰直角三角形所以所以所以故化简得：所以的最小值为故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将几何的问题代数化，化繁为简，数基础题.12.已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对称性以及等价转换的思想，可得与的图像在的交点至少有3对，然后利用数形结合，可得结果.【详解】由题可知：与的图像在的交点至少有3对，
7、可知，如图所示，当时，则故实数a的取值范围为故选：A【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为与的图像在的交点至少有3对，审清题干，耐心计算，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知幂函数图象过点，则_.【答案】.【解析】【分析】根据幂函数的形式，带值计算可得，然后计算即可.【详解】由为幂函数，故设由函数图象过点，故所以，则所以故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的应用，属基础题.14.函数的单调递增区间是_.【答案】【解析】【分析】求出函数的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出的单调递增区间.【详解】由得,当时,得,且仅当时符合题意,所以函数的单调递增
8、区间是,故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.15.如图，在中，点E为的中点.设，则_（用，表示）. 【答案】.【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则得到，然后利用向量减法，可得结果.【详解】因为点E为的中点，所以，又且所以化简可得：即故答案为：【点睛】本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.16.对于函数，设，若存在m，n使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是_.（e是自然对数的底数）【答案】.【解析】【分析】先求出的根，利用等价转
9、换的思想，得到在有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由，令所以，又已知函数与互为“近邻函数”据题意可知：在有解，则在有解即在有解，令，又令，所以当时当时所以所以，则故答案：【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设，为直线l上的两个不同的点，我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.已知直线l有两点， （1）若向量是直线l的一个法向量，求实数m的值；（2）若向量是直线l的一个方向向量，且是单位向量，求向量的坐标.【答案】（
10、1）3；（2）或.【解析】【分析】（1）先表示出直线的一个的方向向量，然后根据向量的垂直关系，可得结果.（2）根据向量共线定理，可得，然后利用是单位向量，可得结果.【详解】（1），由题意：，即，所以.（2）由题意：与平行，所以设（），因为是单位向量，所以，解得，故或.【点睛】本题主要考查向量平行于垂直的坐标表示，熟练掌握公式以及简单计算，属基础题.18.记函数的定义域为集合A，函数（）的值域为集合B.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对数的定义，可得集合A，根据平方关系将转化为二次函数形式，结合交集补集的概念，可得结果.（2）利用（1
11、）的条件以及之间的关系，可得结果【详解】（1）由，得，解得，所以.若时，则则因为，所以.因为，所以.（2）由，又，所以，因为，所以，所以解得.【点睛】本题考查定义域、值域的求法，以及还考查集合的基本关系求参数，属中档题.19.（1）求的值；（2）已知是第三象限角，化简，.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据诱导公式，将大角化小角，并根据特殊值的三角函数，可得结果.（2）根据切化弦，进行化简，可得一个完全平方式，然后根据角所在范围，可得结果.【详解】（1），即，即，所以原式.（2）令，因为是第三象限角，所以，所以原式.【点睛】本题主要考查诱导公式以及切化弦，属基础题.20.已知是定
12、义在上的奇函数，且，当时，.（1）当时，求的解析式；（2）求函数在上的零点构成的集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得的范围，并得，然后结合是奇函数可得结果.（2）根据（1）的条件，令，以及函数的奇偶性和周期性，可得结果.【详解】（1）当时，所以，即因为是定义在上的奇函数，所以当时，.（2）因为是定义在上的奇函数，所以，且，因为，所以，所以，当时，令，得，解得（舍去），或，即，又因为是奇函数，所以，所以函数在上的零点构成的集合为.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，难点在于如何求出另外一部分的表达式，属中档题.21.已知函数（其中A，B均为常数，）的部分图象如图所示.
13、（1）求函数的解析式；（2）若先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m（）个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求实数m的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据图像的最高点于最低点，可得，利用函数的周期可得，代入特殊值，可得，则可得结果.（2）根据图像的变换和平移，可得的表达式，根据三角函数中偶函数的形式，可得结果.【详解】（1）由图可知：，所以，所以，所以.由，得，所以，因，所以.所以.（2）由题意：，因为是偶函数，所以，所以，因为，所以当时，m的最小值为.点睛】本题主要考查根据图像求以及平移变换，掌握A，B的意义以及求法，细心计算，属
14、中档题.22.已知定义在上的函数是奇函数.（1）求a，b的值；（2）若关于x的方程有正根，求实数m的取值范围；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据是的奇函数，得到，可得结果.（2）利用分离参数方法，得到，根据的值域与的关系，可得结果.（3）利用分离参数的方法，得到，右边构造新的函数，通过研究新函数的值域与的大小关系，可得结果.【详解】（1）由题意：，解得，再由，得，解得，当，时，定义域为，为奇函数，所以，.（2），即当时，所以，因为有正根，所以.（3）由，得，因为，所以，所以令，则，此时不等式可化为，记，因为当时，和均为减函数，所以为减函数，故，因为恒成立，所以.【点睛】本题考查函数的奇偶性，还考查利用分离参数的方法求参数的范围，重点在于分离参数，难点在于构造新函数，通过新函数的值域解决问题，属中档题.