1、第7讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(1-2m)，则m的取值范围是_.14（2022全国高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是_15（2022全国高三专题练习）已知函数是定义在的递减函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.16（2022全国高三专题练习）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围第7讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单
2、调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f
3、(x0)M结论M为最大值M为最小值 考点1 函数的单调性名师点睛确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性典例1（2022全国高三专题练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】B【解析】由题意，可得，解得或，所以函数的定义域为，二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，根据复合函数的单调
4、性，可知函数的单调递增区间是.故选：B.2（2022全国高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.【解】任取、，且，则：，当时，即，函数在上单调递减；当时，即，函数在上单调递增.举一反三1（2022全国高三专题练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】C【解析】令，解得，令，则，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C2（2022全国高三专题练习）函数单调递减区间是（）ABCD【答案】C【解析】令，由，得因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，所以函数的单调减区间是故选：C.3（2022全国高三专题练习）已
5、知函数，则下列结论正确的是（）A递增区间是B递减区间是C递增区间是D递增区间是【答案】D【解析】因为函数，作出函数的图象，如图所示：由图可知，递增区间是，递减区间是和故选：D4（2022全国高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）A，B，C，D，【答案】C【解析】因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.因此，函数的单调递增区间为、.故选：C.5（2022广西柳州三模）下列函数在上是单调递增函数的是（）ABCD【答案】D【解析】选项A. 函数在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；选项B. 由复合函数的单调
6、性可知函数在上单调递减，故不满足；选项C. 函数在上单调递减，故不满足；选项D. 函数在上单调递增，故满足，故选：D6（2022全国高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_ ；单调递减区间是_【答案】 ， ，【解析】作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，所以原函数的单调增区间是，单调递减区间是，.故答案为：，；，7（2022全国高三专题练习）函数的单调递增区间是_【答案】【解析】，解得，令，对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是.故答案为：8（2022福建三
7、模）写出一个同时具有下列性质的函数_.定义域为；值域为；对任意且，均有.【答案】（答案不唯一）【解析】，定义域为；，值域为；是增函数，满足对任意且，均有.故答案为：（答案不唯一）.9（2022全国高三专题练习）已知函数f（x）lg判断并证明函数f（x）的单调性；【解】由题意，解得故f（x）的定义域为（0，4）令，由于在（0，4）单调递减，在单调递增，因此在（0，4）单调递减，又在（0，4）单调递减，故f（x）在（0，4）上单调递减，证明如下：设0x1x24，则：，0x1x24，x2x10，x1x20，4x14x20，f（x1）f（x2），f（x）在（0，4）上单调递减11 （2022全国高三专
8、题练习）已知定义域为实数集R的函数判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义证明【解】由题意，令，由于在上单调递增，在单调递减，由复合函数单调性可知f（x）在R上为减函数.证明：设x1，x2R，且x1x2，所以f（x1）f（x2），由于x1x2，y2x在R上单增所以，且2x0所以f（x1）f（x2），所以f（x）在R上单调递减 考点2 函数单调性的应用名师点睛函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，进而得出相应函数值的大小关系，对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方
9、法进行求解(2)求最值：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(3)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域(4)利用函数单调性求参数依据函数的图像或单调性定义等方法，确定函数的单调区间，与已知单调区间进行比较需注意若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值情况典例1（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，则，的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】的定义域为，因为，所以为偶函数，所以，当时，因为，所以，所以，所以，所以在上单调递增，因为在上单调递增，且，所以，即
10、，因为在上为增函数，且，所以，即，所以，所以，即，故选：A2（2022广东深圳高三期末）已知函数，则的最大值为_【答案】【解析】解：时，单调递增，；时，单调递减，.所以的最大值为故答案为：3（2022河北唐山二模）已知函数，若，则x的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】解：定义域为R，又，所以是奇函数，当时，当时，易知在上递增，所以在定义域R上递增，又，所以，解得，故选：C4（2022全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A，BC，D，【答案】C【解析】解：根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，解可得：或，即的取值范围为，故选：C举一反三1（2022辽宁朝阳高三
11、开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（）ABCD【答案】B【解析】依题意，于是得函数在上单调递增，而函数是R上的偶函数，即，显然有，因此得：，所以.故选：B2（2022重庆模拟预测）设函数，若，则（）ABCD【答案】D【解析】解：因为，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减且，又在上单调递减且，所以在上单调递减，又因为，即，即，即，所以，所以；故选：D3（2022全国高三专题练习）函数在上的值域为（）ABCD【答案】C【解析】设，则，则，根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，故函数值域为.故选：C.4（2022重庆八中模拟预测）已知函数
12、是定义在R上的偶函数，且在单调递减，则的解集为（）ABCD【答案】C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.因为，所以.所以当时，；当时，由，得或解得故选：C5（2022河北模拟预测）设函数则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】解：因为，所以，则，即，的函数图象如下所示：由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；故选：A6（2022全国高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（）ABCD【答案】B【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，
13、解得： 故选：B7（2022全国高三专题练习）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D8（2022全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由题意可知，在上为减函数，则，函数在上为减函数，且有，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.9（多选）（2022全国高三专题练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（）ABCD【答案】AC【解析】，在区间上单调递增，由在区间上单调递增，.故选：AC10（2022山东济南市历城第二
14、中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_.【答案】【解析】函数，定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：11（2022全国高三专题练习）已知函数f(x)(m1)在区间(0，1上是减函数，则实数m的取值范围是_【答案】(，0)(1，4【解析】由题意可得4mx0，x(0，1恒成立，所以mmin4当00，解得1m4；当m0时，4mx单调递增，所以m10，解得m1，所以mf(1-2m)，则m的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得：解得m.故答案为：14（2022全国高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】解：由题意得的对称
15、轴为，因为函数在内不单调，所以，得故答案为：15（2022全国高三专题练习）已知函数是定义在的递减函数，若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解】因为函数是定义在的递减函数，所以对，恒成立在，恒成立.整理，当，时，恒成立，（1）当，所以；（2）当时，恒成立，都在上为减函数在上为减函数，恒成立.结合当时，又，当故在上是减函数，.恒成立、两式求交集由（1）（2）可知当，时，对任意，时，恒成立.16（2022全国高三专题练习）已知函数.（1）若，求函数的定义域；（2）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.【解】（1），解得；所以函数的定义域为.（2）当，在递减，此时需满足，即时，函数在上递减；当，在上递减，即当时，函数在上递减；综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减.所以的取值范围是
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