1、3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,yR,下列不等关系正确的是()A.x2+y22|xy|B.x2+y22|xy|C.x2+y22|xy|D.x2+y20,y0,且2xyx+2y2,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x0,y0,所以x+2y2x2y,即x+2y22xy.又2xyx+2y2,所以必有2xy=x+2y2,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取
2、值不唯一D.abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b2ab,所以ab2,所以ab4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd(c+d)24,所以(c+d)244,所以c+d4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以abc+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0a0B.2a-b12C.2ab+ba12D.log2a+log2b-2解析:因为0ab,且a+b=1,所以aba+b22=14,所以log2a+log2b=log2(ab)0,b0,则a2+b22与a+b2的大小关系是.解析:因为a2+b22=a2+b2+a2+b24
3、a2+b2+2ab4=(a+b)24,所以a2+b22a+b2,当且仅当a=b0时,等号成立.答案:a2+b22a+b26.设a0,b0,给出下列不等式:(1)a+1ab+1b4;(2)(a+b)1a+1b4;(3)a2+96a;(4)a2+1+1a2+12.其中正确的是.解析:因为a+1a2a1a=2,b+1b2b1b=2,所以a+1ab+1b4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b)1a+1b=1+1+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b0时,等号成立,所以(2)正确;因为a2+92a29=6a,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a
4、,所以(3)不正确;因为a2+1+1a2+12(a2+1)1a2+1=2,当且仅当a2+1=1a2+1,即a=0时,等号成立,又a0,所以等号不成立,所以(4)正确.答案:(1)(2)(4)7.若a,b为正实数,ab,x,y(0,+),则a2x+b2y(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号,利用以上结论,函数f(x)=2x+91-2xx0,12取得最小值时,x的值为.解析:由题意可知f(x)=42x+91-2x(2+3)22x+(1-2x),当且仅当22x=31-2x时,等号成立,解得x=15.答案:158.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.解由x2+y2+xy=
5、1可得(x+y)2=xy+1,又xyx+y22,所以(x+y)2x+y22+1,整理得34(x+y)21,当且仅当x=y时取等号.所以x+y-233,233.所以x+y的最大值为233.9.导学号33194061已知a0,b0,a+b=1,求证:a+12+b+122.证明因为a+12=1a+121+a+122=34+a2,当且仅当a=12时取等号,同理b+1234+b2,当且仅当b=12时取等号.所以a+12+b+1234+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时取等号.所以a+12+b+122.B组1.已知m0,n0,=m+1m,=n+1n,m,n的等差
6、中项为1,则+的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以+=m+1m+n+1n=(m+n)+m+nmn=2+2mn.因为m0,n0,所以mnm+n22=1.所以+2+21=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以+的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:若ab,则a2-1,则a1+ab1+b;若正整数m和n满足m0,且x1,则ln x+1lnx2,其中真命题的序号是()A.B.C.D.解析:当a=-2,b=1时,ab2,故不成立;对于,a1+a-b1+b=a(1+b)-b(1+a)(1+a)(1+b)=a-b(1+a)(1+b),因为ab-1,所以a1+a-b1
7、+b0,故正确;对于,m(n-m)m+n-m2=n2(mn,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=n2时,等号成立,故正确;对于,当0x1时,lnx3时,x+1x-3a恒成立,则a的最大值为.解析:因为x3,所以x+1x-3=x-3+1x-3+32(x-3)1x-3+3=5.当且仅当x-3=1x-3,即x=4时,等号成立.所以由题意可知a5.答案:55.若a1,0b1,0b1,所以logab0,logba1,0b3.证明b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc=ba+ca+cb+ab+ac+bc-3=ba+ab+ca+ac+cb+bc-3.因为a0,b0,c0,所以ba+ab2,ca+ac2,cb+bc2.又a,b,c不全相等,所以ba+ab+ca+ac+cb+bc6.所以ba+ab+ca+ac+cb+bc-36-3=3.故原不等式成立.7.导学号33194062已知abc,且1a-b+1b-cna-c恒成立.求n的最大值.解因为1a-b+1b-cna-c,abc,所以(a-c)1a-b+1b-cn.又(a-c)1a-b+1b-c=(a-b+b-c)1a-b+1b-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2b-ca-ba-bb-c=4.当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.由1a-b+1b-cna-c恒成立,得n4,所以n的最大值为4.
