1、1.2.2同角三角函数关系学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .(重点)2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2cos2_1.2商数关系：tan .思考：sin2cos21恒成立吗？提示不一定1思考辨析(1)对任意角，sin23cos231都成立()(2)对任意角，tan 都成立()(3)若sin ，则cos .()解析(1).符合同角三角函数的关系(2).等式tan 的条件是即2k，kZ.(3).因为的范围不明确，
2、故cos .答案(1)(2)(3)2已知是第二象限角，且cos ，则tan _.2是第二象限角，sin 0.又sin2cos21，sin ，tan 2.3已知tan 2，则_.由tan 2知cos 0，所以.利用同角基本关系式求值【例1】(1)已知sin ，求cos ，tan 的值；(2)已知sin 2cos 0，求2sin cos cos2的值思路点拨：(1)(2)先由已知条件求出tan ，再将式子化成关于tan 的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简解(1)因为sin 0，sin 1，所以是第三或第四象限角由sin2cos21得cos21sin212.如果是第三象限角，那么cos
3、 0.于是cos ，从而tan .如果是第四象限角，那么cos ，tan .(2)法一：由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21.法二：由sin 2cos 0得2cos sin ，所以2sin cos cos2sin2cos2(sin2cos2)1.1求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方式求解(2)已知tan 求sin (或cos )常用以下方式求解当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论2已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项
4、都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值1已知tan 2，求sin ，cos 的值解法一：tan 20，为第二或第四象限角，且sin 2cos ，又sin2cos21，由消去sin ，得(2cos )2cos21，即cos2；当为第二象限角时，cos ，代入得sin ；当为第四象限角时，cos ，代入得sin .法二：tan 20，为第二或第四象限角由tan ，两边分
5、别平方，得tan2，又sin2cos21，tan211，即cos2.当为第二象限角时，cos 0，cos ，sin tan cos (2).三角函数式的化简、求值【例2】(1)化简：；(2)若角是第二象限角，化简：tan .思路点拨：(1)(2)解(1)原式1.(2)原式tan tan ，因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以原式1.化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换
6、，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.2化简：(1)；(2).解(1)原式1.(2)原式cos .三角函数式的证明【例3】求证：.思路点拨：从左边利用“1sin2xcos2x”及平方差公式推右边便可解(sin xcos x)212sin xcos x，左边右边在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan ，求关于sin ，cos 的齐次式的问题)；“1”的代换(1sin2cos2)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重
7、新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.3证明下列三角恒等式：(1)；(2).证明(1)左边.右边.左边右边，等式恒成立(2)左边右边所以原等式成立“sin cos ”同“sin cos ”间的关系探究问题1已知sin cos 的值，能求sin cos 的值吗？反之呢？提示：设sin cos m，则(sin cos )2m2，即12sin cos m2，所以sin cos .反之也可以，利用(sin cos )212sin cos ，开方便可2已知sin cos 的值，如何求sin cos 或cos sin 的值？提示：设sin cos t，则12sin cos t2，从而2si
8、n cos t21，12sin cos 2t2，从而(sin cos )22t2，对上式开方便可得出“sin cos ”或“cos sin ”的值已知sin cos ，且0.求：(1)sin cos 的值；(2)求sin cos 的值思路点拨：解(1)sin cos ，(sin cos )2，12sin cos ，即sin cos .(2)(sin cos )212sin cos 1.又0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos .(变条件)若本例中变为“已知cos sin ”，那么cos sin 的值为多少？解因为cos sin ，所以cos sin
9、 .1已知sin cos 求sin cos ，只需平方便可2已知sin cos 求sin cos 时需开方，此时要根据已知角的范围，确定sin cos 的正负教师独具1本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin cos 与sin cos 关系的应用难点是三角函数式的化简与证明2要掌握sin cos 与sin cos 之间的转换(1)(sin cos )212sin cos ；(2)(sin cos )212sin cos ；(3)(sin cos )2(sin cos )22；(4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos .3要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值；(2)sin cos 与sin cos 关系的应用(3)三角函数式的化简与证明的方法4本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin 、cos 的值时，易忽视对角所处象限的讨论，造成sin 、cos 漏解或多解的错误1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A.BC.DBsin ，且为第四象限角，故cos ，tan .2已知tan ，则cos sin 等于_由tan ，得解得cos sin .3若2，则tan _.12，2，tan 14tan 2，即3tan 3，tan 1.4求证：.证明右边左边，原等式成立