1、考试标准 课标要点学考要求高考要求 平面向量在平面几何中的简单应用bb平面向量在物理中的简单应用aa知识导图 学法指导 1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题2通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量向量的运算向量和数到形”，后者的思路是“形到数数的运算数到形”3向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.1.物理学中的量与向量的关系(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是_(2)物理学
2、中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_法向量加减2用向量方法解决平面几何问题的三个步骤状元随笔 向量方法解决平面几何问题的六个应用(1)证明线段相等：通过向量运算，证明AB2CD2，即可证明 ABCD.(2)证明线段平行：利用AB CD，点 A，B，C，D 不共线，可以证明 ABCD，特别地，当 1 时，AB 綊 CD.(3)证明线段垂直：利用AB CD 0，证明两线段垂直(4)证明三点共线：利用AB AC(R)可以证明 A，B，C 三点共线，也可变形为OA xOB yOC(x，yR，xy1)，其中 O为空间任意一点(5)证明四点共面：利用PAPBPC(，R)可以证明点 P，A，B
3、，C 四点共面(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|a|a a求长度小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)求力 F1 和 F2 的合力可按照向量加法的平行四边形法则()(2)若ABC 为直角三角形，则有ABBC0.()(3)若向量ABCD，则 ABCD.()2已知点 A(2，3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()AA，B，C 三点共线B.ABBCCA，B，C 是等腰三角形的顶点DA，B，C 是钝角三角形的顶点解析：因为BC(2,0)，AC(2,4)，所以BCAC40，所以C 是钝角答案：D3若向量OF1(1,1)，OF2(3，2)分别表示两个
4、力 F1，F2，则|F1F2|为()A(5,0)B(5,0)C.5D 5解析：F1F2OF1 OF2(1,1)(3，2)(2，1)|F1F2|2212 5.答案：C4力 F(1，2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s(3,4)，则力 F 对质点 P 做的功是_解析：因为 WFs(1，2)(3,4)11，则力 F 对质点 P做的功是11.答案：11类型一 向量在几何中的应用例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE.【证明】方法一 设AD a，ABb，则|a|b|，ab0，又DE DA AE ab2，AF AB BF ba2，所以AF DE
5、 ba2 ab2 12a234abb22 12|a|212|b|20.故AFDE，即 AFDE.方法二 建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为 2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF(2,1)，DE(1，2)因为AFDE(2,1)(1，2)220，所以AFDE，即 AFDE.对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为 0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)方法归纳 用向量方法解决平面几何问题的步骤跟踪训练 1(1)在四边形 ABCD 中，若ABCD 0，ACBD 0，则四边形为()A.平
6、行四边形B矩形C等腰梯形D菱形(2)若 O 是ABC 内一点，OA OB OC 0，则 O 为ABC的()A.内心B外心C垂心D重心解析：(1)由题可知ABCD，|AB|CD|，且ACBD，故四边形为菱形(2)如图，取 AB 的中点 E，连接 OE，则OA OB 2OE.又OA OB OC 0，所以OC 2OE.又 O 为公共点，所以 O，C，E 三点共线，且|OC|2|OE|.所以 O 为ABC 的重心答案：(1)D(2)D(1)由AB CD 0可得AB CD，|AB|CD|，AC BD 0 可得AC BD.(2)作出图形，取 AB 的中点 E，连接 OE.类型二 向量在物理中的应用例 2
7、如图所示，求力 F1，F2 的合力 F 的大小(精确到 0.1 N)和方向(精确到分)【解析】设 F1(a1，a2)，F2(b1，b2)，则 a1300cos 30150 3，a2300sin 30150，b1200cos 45100 2，b2200sin 45100 2，所以 F1(150 3，150)，F2(100 2，100 2)，则 FF1F2(150 3，150)(100 2，100 2)(150 3100 2，150100 2)，|F|150 3100 22150100 22100 133 23 6314.6.设 F 与 x 轴的正方向的夹角为，则 tan 150100 2150
8、3100 22.461 6.由 F 的坐标知 是第一象限的角，所以 6753.故两个力的合力约是 314.6 N，与 x 轴正方向的夹角大约为6753，与 y 轴的正方向的夹角大约为 227.利用F1，F2的大小和夹角确定F1，F2的坐标求出 F的坐标进而得到 F的大小和方向方法归纳 用向量方法解决物理问题的“三步曲”跟踪训练 2 一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)解析：如图，设AD 表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以 AD、AB 为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度在 RtABC 中，|AB|2，|BC|2 3，|AC|AB|2|BC|2 222 324，tanCAB2 32 3，CAB60，故船实际航行速度的大小为 4 km/h，方向与水流速间的夹角为60.用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解
