1、23.2事件的独立性1.了解相互独立事件的意义2.理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式及应用3掌握运用独立事件的概率公式求解概率问题的方法事件的独立性概念一般地，若事件A，B满足P(A|B)P(A)，则称事件A，B独立性质(1)若事件A，B独立，且P(A)0，则B，A也独立，即A与B独立是相互的(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)P(A)P(B)概率计算公式(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)P(A)P(B)(2)推广：若事件A1，A2，An相互独立，则
2、这n个事件同时发生的概率P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)结论如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立1下列事件A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”DA表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”答案：A2若事件E与F相互独立，且P(E)P(F)，则P(EF)的值等于()A0B.C.D.答案：B3甲、乙两水文站同时作水
3、文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为_答案：0.56判断事件的相互独立性判断下列各对事件是不是相互独立事件(1)甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”【解】(1)“
4、从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相
5、互独立事件(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(3)当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)
6、P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的相互独立事件概率的计算甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出
7、密码的概率；【解】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码“为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)，P(B).(1)“2个人都译出密码”的概率为：P(AB)P(A)P(B).(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P()P()P()1P(A)1P(B)(1)(1).(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1P(AB)1P(A)P(B)1.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率；(2)至少1个人译出密码的概率解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1
8、个人译出密码的概率为：P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)(1)(1).(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1P()1P()P()1.利用相互独立事件的概率乘法公式可使概率问题变得更加简捷另外，遇到“至多”“至少”问题时，要明确它们的含义，并且分清事件之间的包含关系2.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多两人当选的概率解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B和C，则有(1)P(A)，P(B)，P(C).因为事件A、B、C相互独立，恰
9、有1名同学当选的概率为P(A)P(B)P(C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).(2)至多有两人当选的概率为1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1.综合应用某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中，(1)三科成绩均未获得第一名的概率；(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率【解】分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A、B、C两两相互独立且P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示P()P()P()P()1P(A)1P
10、(B)1P(C)(10.9)(10.8)(10.85)0.003.即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用：(BC)(AC)(AB)表示由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()1P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)P(C)P(A)P(B)1P(C)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329.即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.在两个或多个相互独
11、立事件中，求含有“至少”“至多”等词语的事件的概率时，直接利用互斥事件的概率加法公式求解较烦琐，转而用间接方法，也就是考虑其对立事件，利用公式P(A)P(A)1，这样能将解题过程大大简化3.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)，P(B).所以甲考试合格的概率为，乙考试合格的概率为.(2)法一：因为事件A、B相互独立，所以甲、
12、乙两人考试均不合格的概率为P()P()P().则1P()1.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为PP(A)P(B)P(AB)P(A)P()P()P(B)P(A)P(B).所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)【注意】两个事件不可能既互斥又
13、相互独立设事件A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率均为，求P(AB)【解】由P(A)P(B)，得解得P(A)P(B)，所以P(AB)1P()1P()P()1(1)(1).在正确理解题意的基础上，列出关于P(A)、P(B)的方程组，是解决本题的基础由于不理解题意而不会做失分正确运用公式P(AB)1P()是正确解答的关键此处也可借助公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)(A、B不互斥时)求解务必不能视A、B对立，得错误结果P(AB)1.由于不会解造成失分1甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是
14、()A.B.C.D.解析：选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A、B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)P(A)P(B).2若两事件A和B相互独立，且满足P(AB)P()，P(A)0.4，则P(B)_解析：因为P(AB)P()P()P()0.61P(B)，而P(AB)P(A)P(B)，所以0.4P(B)0.60.6P(B)，即P(B)0.6.答案：0.63甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为_解析：甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为(1)(1)(1).答案：A基础达标1投掷一枚均匀硬币和一
15、颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.B.C.D.解析：选C.因为P(A)，P(B)，所以P()，P().又A，B为相互独立事件，所以P()P()P().所以A，B中至少有一件发生的概率为1P()1.2把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为()A掷出偶数点，B掷出奇数点；A掷出偶数点，B掷出3点；A掷出偶数点，B掷出3的倍数点；A掷出偶数点，B掷出的点数小于4A1B2C3D4解析：选A.P(A)，P(B)，P(AB)0，所以A与B不独立P(A)，P(B)，P(AB)0，A与B不独立P(
16、A)，P(B)，P(AB)，P(AB)P(A)P(B)，所以A与B独立P(A)，P(B)，P(AB)，P(A)P(B)P(AB)，所以A与B不独立3某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p()A.B.C.D.解析：选B.因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1(1p)4，解得p或p(舍去)故选B.4从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于()A2个球不都是红球的概率B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率D2个球中
17、恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)，P(B)，由于A、B相互独立，所以1P()P()1.根据互斥事件可知C正确5已知A，B是相互独立事件，若P(A)0.2，P(ABBA)0.44，则P(B)()A0.3B0.4C0.5D0.6解析：选A.因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立因为P(A)0.2，P(ABBA)0.44，所以P(A)P(B)P()P(B)P(A)P()0.44，所以0.2P(B)0.8P(B)0.21P(B)0.44，解得P(B)0.3.6甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的
18、概率为0.92，则该题被乙独立解出的概率为_解析：记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为p1，乙为p2.则P(A)p10.6，P(B)p2.P(AB)1P()1(1p1)(1p2)p1p2p1p20.92.所以0.6p20.6p20.92，解得p20.8.答案：0.87设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5.三人各向目标射击一次，则至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率分别为_解析：设Ak表示“第k人命中目标”，k1，2，3.这里，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)0.7，P(A2)0.6，P(A3)0.5.从而，至少有一人命中
19、目标的概率为1P( )1P()P()P()10.30.40.50.94.恰有两人命中目标的概率为P(A1A2A1A3A2A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1)P(A2)P()P(A1)P()P(A3)P()P(A2)P(A3)0.70.60.50.70.40.50.30.60.50.44.所以至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.答案：0.94，0.448有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是_解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，
20、事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则DBC，且B与C互斥，又P(A)，P(AB)，P(AC)，故P(D|A)P(BC|A)P(B|A)P(C|A).答案：9在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、，且三个项目是否成功互相独立(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为(1)，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为(1)，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1)，所以恰有两个项目成功的概率为.(
21、2)三个项目全部失败的概率为(1)(1)(1)，所以至少有一个项目成功的概率为1.10某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量(1)求Xn2的概率；(2)设mn，求X的概率分布解：(1)Xn2表示两次调题均为A类型试题，概率为.(2)mn时，每次调用的是A类型试题的概率为p，随机变量X可取n，n1，n2，P(Xn)
22、(1p)2，P(Xn1)2p(1p)，P(Xn2)p2.则X的概率分布为：Xnn1n2PB能力提升1设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D.设事件A，B发生的概率分别为P(A)x，P(B)y，则P()P()P()(1x)(1y)，即1xyxy2，当且仅当xy时取“”，所以或(舍去)，所以0xy.所以P(AB)P(A)P(B)xy.2设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)_解析：由题意，P()P()，P()P(B)P(A)P()设P(A)x，P(B)y，则即
23、所以x22x1，所以x1，或x1(舍去)，所以x.答案：3已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率(1)事件A，B，C均发生；(2)事件A，B，C均不发生；(3)事件A，B，C不都发生；(4)事件A，B，C至少发生一个；(5)事件A，B，C只发生一个；(6)事件A，B，C只发生两个；(7)事件A，B，C至多发生两个解：(1)设“事件A，B，C均发生”为事件A1.由于A，B，C相互独立，则A1ABC.从而P(A1)P(A)P(B)P(C).所以事件A，B，C均发生的概率为.(2)设“事件A，B，C均不发生”为事件A2，则A2.由
24、于A，B，C相互独立，故，也相互独立，故P(A2)P()P()P()P().所以事件A，B，C均不发生的概率为.(3)设“事件A，B，C不都发生”为事件A3，若从正面考虑，则事件A，B，C中可以有1个不发生，可以有2个不发生，也可以3个都不发生，情况较多，因此我们从反面考虑，记事件为“事件A，B，C都发生”，则A1，从而P(A3)1P()1P(A1).所以事件A，B，C不都发生的概率为.(4)设“事件A，B，C至少发生一个”为事件A4，其对立事件为“事件A，B，C一个也不发生”，即事件A2，故A2，从而P(A4)1P()1P(A2)1.所以事件A，B，C至少发生一个的概率为.(5)设“事件A，
25、B，C只发生一个”为事件A5，则事件A5包括三种情况，第一种是只发生事件A，事件B，C不发生(即事件A发生)；第二种是只发生事件B，事件A，C不发生(即事件B发生)；第三种是只发生事件C，事件A，B不发生(即事件C发生)而这三种情况是不可能同时发生的，即事件A，B，C彼此互斥根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A5)P(A)P(B)P(C).所以事件A，B，C只发生一个的概率为.(6)设“事件A，B，C只发生两个”为事件A6，则事件A6包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC.由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得所求概率为P(A6)P(A
26、B)P(AC)P(BC).所以事件A，B，C只发生两个的概率为.(7)设“事件A，B，C至多发生两个”为事件A7，则事件A7包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，即事件A2；事件A，B，C只发生一个，即事件A5；事件A，B，C只发生两个，即事件A6.故P(A7)P(A2)P(A5)P(A6).所以事件A，B，C至多发生两个的概率为.4(选做题)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数的概率分布解：设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)，P(Bk)(k1，2，3)(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P()P()P(A2)P()P()P()P()P(A3).(2)的所有可能值为1，2，3.由独立性知P(1)P(A1)P(B1)，P(2)P(A2)P(B2).P(3)P().综上知，的概率分布为：123P
