1、空间动态问题突破题型一空间位置关系的判定例1(1)如图，在矩形ABCD中，BC1，ABx，BD和AC交于点O，将BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是()A存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ABOCB存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ACBDC存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB平面ACDD存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC平面ABD答案D解析当ABx1时，此时矩形ABCD为正方形，则ACBD，将BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD平面BCD时，由OCBD，OC平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以OC平面ABD，又AB平面ABD，所以ABOC，故A正确；又OC
2、BD，OABD，且OAOCO，OA，OC平面OAC，所以BD平面OAC，又AC平面OAC，所以ACBD，故B正确；在矩形ABCD中，ABAD，AC，所以将BAD沿直线BD翻折时，总有ABAD，取x，当将BAD沿直线BD翻折到AC时，有AB2AC2BC2，即ABAC，且ACADA，AC，AD平面ACD，则此时满足AB平面ACD，故C正确；若AC平面ABD，又AO平面ABD，则ACAO，所以在AOC中，OC为斜边，这与OCOA相矛盾，故D不正确.(2)(多选)(2022烟台质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是()A平面PB1D平面ACD1BA
3、1P平面ACD1C异面直线A1P与AD1所成的角的范围是D三棱锥D1APC的体积不变答案ABD解析对于A，根据正方体的性质，易证DB1平面ACD1，又DB1平面PB1D，则平面PB1D平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1(图略)，易证明平面BA1C1平面ACD1，又A1P平面BA1C1，所以A1P平面ACD1，故B正确；对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成的角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成的角取最大值，故A1P与AD1所成的角的范围是，故C错误；对于D，因为点C到平面AD1P的距离不变，且AD1P的面积不变，所以三棱锥D1APC
4、的体积不变，故D正确思维升华解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化(2)建立“坐标系”计算跟踪训练1(多选)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，ABBC，且ACAA12，E，F分别是AC，A1C1的中点，D，M分别是AA1，BB1上的两个动点，则()AFM与BD一定是异面直线B三棱锥DMEF的体积为定值C直线B1C1与BD所成的角为D若D为AA1的中点，则四棱锥DBB1FE的外接球表面积为5答案BCD解析A项，当M，B重合时，FM(即BF)与BD是相交直线，故A错误；B项，由已知可得B1FA1C1，又平面ABC平面CAA1C1，所以B1F平面CAA1
5、C1.在矩形AEFA1中，DEF的面积SEFA1F211.又B1FA1C11，所以三棱锥DMEF的体积VMDEFSB1F11，所以B正确；C项，由AA1平面A1B1C1，得AA1B1C1，又B1C1A1B1，A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面A1B1BA，所以B1C1平面A1B1BA，因为BD平面A1B1BA，所以B1C1BD，所以C正确；D项，由题意可得四边形BB1FE为矩形，连接BF(图略)，则矩形BB1FE外接圆的圆心为BF的中点O1，且O1FO1B.过O1作O1NEF，垂足为N，连接DN，O1D，则O1N，DN1，O1NDN，故O1D，所以O1是四棱锥DBB1FE的外接球的球心，
6、外接球的半径为R，则外接球的表面积为S425，所以D正确题型二轨迹问题例2(1)(多选)(2022日照模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是()A若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆B若MN4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2C若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线答案ACD解析如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD平面ABCD，所以MND为MN与平面ABCD所成的角，所以MND，所以DNDMDD142，所以点N
7、的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，在RtMDN中，DN2，取MD的中点E，连接PE，因为P为MN的中点，所以PEDN，且PEDN，因为DNED，所以PEED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为()23，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1平面ABCD，所以BB1NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4,0
8、,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y，0)，则(0,4,0)，(x，y，4)，因为D1N与AB所成的角为，所以|cos，|cos，所以，整理得1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确(2)(2022济南模拟)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为6的菱形，BAD60，AC，BD相交于点O，SO平面ABCD，SO4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的长为_答案8解析如图，分别取DC，SC的中点G，F，连接GE，GF，FE，E是BC的中点，GEDB，FESB，GE平面SBD，DB平面SBD，则GE平面SBD；FE平面SBD，SB平面S
9、BD，则FE平面SBD，又GEFEE，平面FEG平面SBD，SO平面ABCD，SOAC，又四边形ABCD是菱形，DBAC，SODBO，SO，DB平面SBD，AC平面SBD，则AC平面FEG，故只要动点P在平面FEG内即总保持PEAC，又动点P在棱锥表面上运动，动点P的轨迹的周长即为FEG的周长，四边形ABCD是边长为6的菱形，且BAD60，BD6，则OBOD3，又SO4，SBSD5，故FEFG，GE3，FEG的周长为8.思维升华解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算(3)特殊值法：根据空
10、间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除跟踪训练2(1)(2022滨州模拟)如图，斜线段AB与平面所成的角为，B为斜足平面上的动点P满足PAB，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线的一部分D抛物线的一部分答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设OBOA1，则B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y，0)，则(0,1，1)，(x，y，1)，所以cos，即3x2(y2)23，所以点P的轨迹是椭圆(2)(2022宁波模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，AD的中点，P为线段C1D上的动点，则直线A1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.答案
11、C解析如图，连接B1D1，因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以B1D1EF，则B1，D1，E，F四点共面连接A1C1，A1D，设A1C1B1D1M，A1DD1FN，连接MN，则点Q的轨迹为线段MN，易得A1D4，A1ND1DNF，且2，所以A1NA1D.易知A1C1C1DA1D4，所以C1A1D60，又A1M2，所以在A1MN中，由余弦定理可得MN2A1N2A1M22A1NA1McosMA1N，所以MN，即点Q的轨迹长度为.题型三最值、范围问题例3(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段B1D1上一动点，且AP平面DBC1，则异面直线AP与BD所成角的取值范围为()A
12、.B.C.D.答案C解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，设P(，1)，0,1，(1,1,0)，(1，1)，21，|，|，设异面直线AP与BD所成的角为，则cos，当时，cos取得最小值为0，当0或1时，cos取得最大值为，0cos，则.(2)(多选)(2022济宁模拟)如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SOOC2，则下列结论正确的是()A圆锥SO的侧面积为8B三棱锥SABC体积的最大值为CSAB的取值范围是D若ABBC，E
13、为线段AB上的动点，则SECE的最小值为2(1)答案BD解析在RtSOC中，SC2，则圆锥的母线长l2，半径rOC2，对于选项A，圆锥SO的侧面积为rl4，故选项A错误；对于选项B，当OBAC时，ABC的面积最大，此时SABC424，则三棱锥SABC体积的最大值为SABCSO42，故选项B正确；对于选项C，当点B与点A重合时，ASB0为最小角，当点B与点C重合时，ASB，达到最大值，又因为B与A，C不重合，则ASB，又2SABASB，可得SAB，故选项C不正确；对于选项D，由ABBC，ABC，AC4，得ABBC2，又SASB2，则SAB为等边三角形，则SBA，将SAB以AB为轴旋转到与ABC共
14、面，得到S1AB，则S1AB为等边三角形，S1BA，如图所示，则(SECE)minS1C，因为S1BBC2，S1BCS1BAABC，S1C2S1B2BC22S1BBCcos888(22)2，则(SECE)minS1C2(1)，故选项D正确思维升华在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值跟踪训练3(1)(2022邢台模拟)球O为正四面体ABCD的内切球，AB2，MN是球O的直
15、径，点P在正四面体ABCD的表面运动，则的最小值为_，最大值为_答案0解析()()22，如图所示：设球O的半径为r，由题可知正四面体ABCD的高为hAO1，所以4r，解得r.因为点P在正四面体ABCD的表面运动，所以|的最大值为AOhr，最小值为r，又|r，所以的最小值为0，最大值为.(2)(2022杭州检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12AD2，E为棱CC1上一点，记平面BD1E与底面ABCD的夹角为，则当取得最小值时CE的长度为_答案解析建立如图所示的空间直角坐标系，设CEa，a0,2，B(1,2,0)，E(0,2，a)，D1(0,0,2)，(1，2,2)，(1,0，a)
16、，设平面BD1E的法向量为n(x，y，z)，则即取xa，则n，显然平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)，即cos，当最小时，取最大值，即当a时，cos取最大值，取得最小值课时精练1(2022广州模拟)点P为棱长是2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DPBM，则动点P的轨迹的长度为()AB2C4D2答案C解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r，如图取BB1的中点N，连接CN，则CNBM，CN为DP在平面B1C1CB中的射影，点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O到过D，C，N的平面的距离
17、为1，截面圆的半径为2，点P的轨迹的长度为224.2正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到AD的距离为()A.B.C.D.答案A解析因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体，所以其体积为11.设正四面体ABCD内切球的半径为r，则411r，得r.如图，取AD的中点E，则()()2()2.显然，当PE的长度最小时，取得最小值设正四面体内切球的球心为O，可求得OAOD.因为球心O到点E的距离d，所以球O上的点P到点E的最小距离为dr，即当取得最小值时，点P到AD的距离为.3如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且ab，点D是B
18、C1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是()A.B.C.D.答案D解析如图，取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1EA1B1，由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1平面ABB1A1，C1E平面ABB1A1，取BE的中点F，连接AF，DF.D为BC1的中点，DFC1E，DF平面ABB1A1，DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角在RtAFD中，DFC1Ea，AF，tanDAF，当且仅当ab时，等号成立，直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为.4(多选)(2022长沙检测)设动点P在正方体ABCDA1B1C1D1上(含内部)，且，当APC为锐角时，实
19、数可能的取值是()A.B.C.D.答案CD解析设APx，D1Pt，正方体的棱长为1，则AC，在APC中，由余弦定理得cosAPC，若APC为锐角，则0，则x21，在AD1P中，AD1，cosAD1P，于是由余弦定理得x22t22t，于是2t22t1，即3t24t30，解得t或t1(舍去)或0.5(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M分别为棱CD，CC1的中点Q为线段A1B上任一点，则下列说法正确的是()A平面APM内存在直线与A1D1平行B平面APM截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为C直线AP和DQ所成的角可能为60D直线AP和DQ所成的角可能为30答
20、案BC解析对于选项A，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BCA1D1，在平面ABCD中，直线AP，BC相交，所以直线BC与平面APM相交，故直线A1D1与平面APM相交，故平面APM内不存在直线与A1D1平行，所以选项A错误；对于选项B，如图，连接C1D，AB1，因为P，M分别为棱CD，CC1的中点，所以PMC1D，PMC1D，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1C1D，所以PMAB1，连接B1M，则梯形AB1MP为所求的截面，易知APB1M，PM，AB1，所以等腰梯形AB1MP的高为，所以梯形AB1MP的面积为，选项B正确；对于选项C，D，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴
21、的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，(0,1，1)，(1,0,1)，设(0,1，1)(0，)，01，所以(1，1)，所以|cos，|.当cos60，即210时，解得，其中0,1，当cos30，即132770时，方程无解所以直线AP和DQ所成的角可能为60，但不可能为30，选项C正确，选项D错误6(多选)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN.给出的下列说法中正确的是()A点P可以是棱BB1的中点B线段MP的最大值为C点P的轨迹是
22、正方形D点P的轨迹长度为2答案BD解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，M，N，C(0,1,0)，设P(x，y，z)，则，MPCN，z0，即2x4z30，当x1时，z，当x0时，z，取E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，则(0,1,0)，四边形EFGH为矩形，又0，0，即EFCN，EHCN，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，CN平面EFGH，又，M为EG的中点，则M平面EFGH，为使MPCN，必有点P平面EFGH
23、，又点P在正方体表面上运动，点P的轨迹为四边形EFGH，点P不可能是棱BB1的中点，故选项A错误；又EFGH1，EHFG，EFEH，则点P的轨迹是矩形不是正方形，且矩形EFGH的周长为222，故选项C错误，选项D正确；点P的轨迹为矩形EFGH，当P点在矩形的四个端点时，MP取得最大值，且MP的最大值为，故B正确7.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是()A平面BCM平面A1AMB三棱锥BMB1C体积的最大值为C当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D直线CM与A1D所成的角不可能是答案ABC解析对
24、于A，BCAB，BCBB1，ABBB1B，AB，BB1平面AA1M，BC平面AA1M，又BC平面BCM，平面BCM平面A1AM，A正确；对于B，M为AB1上的动点，当M与A重合时，取得最大值为ABBB1，B正确；对于C，以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，当M为AB1的中点时，M，又B1(1,1,0)，C(0,1,1)，D(0,0,1)，(1，1,1)，cos，当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为，C正确；对于D，如C中所建立的空间直角坐标系，设M(1，y，z)，(01)，又A(1,0,1)，(0,1，1)，(0，y，z1)，(0，y，z1)(0，)，则y
25、，z1，M(1，1)，(1，1，)，又(1,0,1)，|cos，|，若直线CM与A1D所成的角为，则，解得2，又0,1，当2，即(2)时，直线CM与A1D所成的角为，D错误8(多选)正三棱柱ABCA1B1C1(底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等，D为AA1的中点M，N分别是BB1，CC1上的动点(含端点)，且满足BMC1N.当M，N运动时，下列结论中正确的是()A平面DMN平面BCC1B1B三棱锥A1DMN的体积为定值CDMN可能为直角三角形D平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为答案ABD解析如图，当M，N分别是BB1，CC1上的动点(含端点)，且满足BMC1N时，则线段MN
26、一定过正方形BCC1B1的中心O，而DO平面BCC1B1，DO平面DMN，可得平面DMN平面BCC1B1，故A正确；当M，N分别是BB1，CC1上的动点(含端点)时，过点M作A1D边上的高，其长等于AB的长，所以A1DM的面积不变，由于C1N平面A1DM，故点N到平面A1DM的距离等于点C1到平面A1DM的距离，则点N到平面A1DM的距离为定值，故三棱锥A1DMN的体积为定值，所以B正确；由BMC1N可得，DNDM，若DMN为直角三角形，则一定是以MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DN，DM的长都大于BB1，故DMN不可能为直角三角形，所以C不正确；当M，N分别是BB1，
27、CC1的中点时，平面DMN与平面ABC平行，所成角为0度；当M与B重合，N与C1重合，平面DMN与平面ABC所成锐二面角最大；延长C1D交CA于G，连接BG，则平面DMN平面ABCGB，由于D为AA1的中点，AA1CC1，所以DACC1，且DACC1，故在C1GC中，D为C1G的中点，A为CG的中点，在C1GB中，D为C1G的中点，O为BC1的中点，故DOGB，由于DO平面BCC1B1，所以GB平面BCC1B1，则GBBC，GBBC1，所以平面DMN与平面ABC所成锐二面角最大为C1BC，故D正确9如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD的中点，点P在底面ABCD内(不包
28、括边界)运动，若B1P平面A1BM，则C1P的长度的取值范围是_答案解析如图，取BC的中点N，连接B1D，B1N，DN，过C作CODN于O，连接C1O，由正方体的性质知DNMB，A1MB1N，又DNB1NN，MBA1MM，平面B1DN平面A1BM，点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN(不含点N和点D)连接C1D，C1N，在C1DN中，C1D，DNC1N，C1C平面ABCD，CODN，C1ODN，则当P与O重合时，C1P的长度取得最小值，C1P的长度的最小值为C1O，又C1P2，所以函数在x上单调递减，所以当x时，|取得最大值，所以|的最大值为，当x2时，|取得最小值，所以|的最小值为，所以|的取值范围是.
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有