1、2015-2016学年山东省淄博六中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合A=x|x=2k1，kZ，B=x|0，则AB=( )A1，3B1，3C1，1D1，1，32若a、b、c为实数，则下列命题正确的是( )A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2abb2C若ab，则D若ab0，则3已知tR，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，则t等于( )ABCD4设等差数列an的前n项为Sn，已知a1=11，a3+a7=6，当Sn取最小值时，n=( )A5B6C7D85ABC中，C=90，CA=CB=2，点M在边AB上，且满
2、足=3，则=( )AB1C2D6若函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象为( )ABCD7若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x2y的最大值是( )A1B2C3D48对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为( )A210B210.5C211.5D212.59已知函数f（x）=sin2x+cos2xm在0，上有两个零点，则实数m的取值范围是( )A（1，2）B1，2）C（1，2D1，2
3、10已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是( )AabcBbcaCacbDcab二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为_12已知向量，满足|=1，|=3，|2|=，则与的夹角为_13已知函数f（x）=，则f（6）=_14已知a0，b0，且a+2b=1，则的最小值为_15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算
4、步骤）16已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，SABC=，求b+c的值17如图，已知AB平面ACD，DEAB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE18某单位招聘职工，经过几轮筛选，一轮从2000名报名者中筛选300名进入二轮笔试，接着按笔试成绩择优取100名进入第三轮面试，最后从面试对象中综合考察聘用50名（）求参加笔试的竞聘者能被聘用的概率；（）用分层抽样的方式从最终聘用者中抽取10名进行
5、进行调查问卷，其中有3名女职工，求被聘用的女职工的人数；（）单位从聘用的三男和二女中，选派两人参加某项培训，至少选派一名女同志参加的概率是多少？19已知函数f（x）=ax22lnx，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间20（13分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2，数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+2（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前2n项和T2n21（14分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（）求函
6、数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（）判断函数F（x）=2f（x）g（x）+2零点个数2015-2016学年山东省淄博六中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1已知集合A=x|x=2k1，kZ，B=x|0，则AB=( )A1，3B1，3C1，1D1，1，3【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求出B中不等式的解集确定出B，由A为奇数集，求出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x3）0，且x30，解得：1x3，即B=1，3），A为奇数集合，AB=1，1，故选：C【点评】此题考查了交
7、集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若a、b、c为实数，则下列命题正确的是( )A若ab，则ac2bc2B若ab0，则a2abb2C若ab，则D若ab0，则【考点】不等式的基本性质 【专题】不等式的解法及应用【分析】Ac=0时不成立；B利用不等式的基本性质由ab0，可得a2abb2；C取a=1，b=2时，即可判断出；D由ab0，可得【解答】解：Ac=0时不成立；Bab0，a2abb2，正确；C取a=1，b=2时，=1，=，则不成立；D若ab0，则，因此不正确故选：B【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题3已知tR，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i
8、，且z1z2是实数，则t等于( )ABCD【考点】复数代数形式的混合运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的乘法运算法则，复数是实数，虚部为0求解即可【解答】解：tR，i为虚数单位，复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，可得（3+4i）（t+i）=3t4+（4t+3）i，4t+3=0则t=故选：D【点评】本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用，考查计算能力4设等差数列an的前n项为Sn，已知a1=11，a3+a7=6，当Sn取最小值时，n=( )A5B6C7D8【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和题意求出a5的值，再求出公
9、差d、an和Sn，对Sn化简后利用二次函数的性质，求出Sn取最小值时对应的n的值【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=6，则a5=3，又a1=11，所以d=2，所以an=a1+（n1）d=2n13，Sn=n212n，所以当n=6时，Sn取最小值，故选：B【点评】本题考查等差数列的性质、通项公式，以及利用二次函数的性质求Sn最小值的问题5ABC中，C=90，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则=( )AB1C2D【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由=（），再利用向量和的夹角等于45，两个向量的数量积的定义，求出的值【解答】解：由题意得 AB=2，
10、ABC是等腰直角三角形，=（）=0+=1故选B【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45这一条件的运用6若函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象为( )ABCD【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换 【专题】函数的性质及应用【分析】由图象可知对数的底数满足0a1，且0f（0）1，再根据指数函数g（x）=ax+b的性质即可推得【解答】解：由图象可知0a1且0f（0）1， 即 即解得loga1logablogaa，0a1由对数函数的单调性可知ab1，结合可得a，b满足的关系为0ab1，由指数函数的图象和性
11、质可知，g（x）=ax+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方故选：B【点评】本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题7若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x2y的最大值是( )A1B2C3D4【考点】简单线性规划 【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直
12、线，z最大故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为( )A210B210.5C211.5D212.5【考点】线性回归方程 【专题】概率与统计【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a，最后将x=20代入求出相应的y即可【解答】解：=5，=54这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程
13、=10.5x+，54=10.55+a，a=1.5，回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，=10.520+1.5=211.5，故选C【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一9已知函数f（x）=sin2x+cos2xm在0，上有两个零点，则实数m的取值范围是( )A（1，2）B1，2）C（1，2D1，2【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在0，上两个交点，数形结合可得m的取值范围【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+
14、） 与直线y=m在0，上两个交点由于x0，故2x+，故g（x）1，2令2x+=t，则t，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在，上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1m2，故选B【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题10已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是( )AabcBbcaCacbDcab【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的概念及应用【分析】利用条件构造函
15、数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解答】解：设h（x）=xf（x），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=2f（2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（ln2）=h（ln2），又2ln2，bca故选：C【点评】本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11若在区域内任取一点P
16、，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为【考点】几何概型 【专题】计算题【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案【解答】解：满足约束条件 区域为ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P=故答案为：【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解12已知向量，满足|=1，|=3，|2|=
17、，则与的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】平面向量及应用【分析】设与的夹角为，则由题意可得 44+=10，求得cos 的值，再结合0，），可得的值【解答】解：设与的夹角为，则由题意可得 44+=10，即 4413cos+18=10，求得cos=，再结合0，），可得=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题13已知函数f（x）=，则f（6）=1【考点】抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数以及抽象函数求解即可【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）=1故答案为：1【点评】本题考查函数的值的
18、求法，抽象函数的应用，考查计算能力14已知a0，b0，且a+2b=1，则的最小值为【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b0，且a+2b=1，=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号的最小值为故答案为：【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题15某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2【考点】由三视图求面积、体积 【专题】立体几何【分析】由主视图知CD平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长【解答】解：
19、由主视图知CD平面ABC，设AC中点为E，则BEAC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在RtBCE中，BC=，在RtBCD中，BD=，在RtACD中，AD=2则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，SAB
20、C=，求b+c的值【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数 【专题】解三角形【分析】（1）由两向量的坐标，以及平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）由f（A）=，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把bc的值代入计算求出b+c的值即可【解答】解：（1）=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）
21、=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令+2k2x+2k，kZ，得到+kx+k，kZ，则f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，2A+=，即A=，a=，SABC=，由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即3=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）26，即（b+c）2=9，解得：b+c=3【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17如图，已知AB平面ACD，DEAB，AC=AD=DE=
22、2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AFBG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（）证明BGDE，BGCD，可得BG平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论【解答】证明：（）取EC中点G，连BG，GFF是CD的中点，FGDE，且FG=DE又ABDE，且AB=DE四边形ABGF为平行四边形AFBG又BG平面BCE，AF平面BCEAF平面BCE （）AB平面ACD，AF平面ACD，A
23、BAFABDE，AFDE 又ACD为正三角形，AFCD BGAF，BGDE，BGCD CDDE=D，BG平面CDE BG平面BCE，平面BCE平面CDE【点评】本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题18某单位招聘职工，经过几轮筛选，一轮从2000名报名者中筛选300名进入二轮笔试，接着按笔试成绩择优取100名进入第三轮面试，最后从面试对象中综合考察聘用50名（）求参加笔试的竞聘者能被聘用的概率；（）用分层抽样的方式从最终聘用者中抽取10名进行进行调查问卷，其中有3名女职工，求被聘用的女职工的人数；（）单位从聘用的三男和二女中，选派两人参加某项培训
24、，至少选派一名女同志参加的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】概率与统计【分析】（）设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率P，依题意有，计算求得结果（）设被聘用的女职工的人数为x，用50乘以女职工所占的比例，即得所求（）用列举法求得所有的选法共有10种，其中至少选一名女同志有共有7种，由此求得至少选派一名女同志参加的概率【解答】解：（）设参加笔试的竞聘者能被聘用的概率P，依题意有：（）设被聘用的女职工的人数为x，则，即被聘用的女职工的人数为15人（）设聘用的三男同志为a，b，c，两个女同志记为m，n，选派两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，m），（a，n），
25、（b，c），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（m，n），共10种，至少选一名女同志有（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），（c，m），（c，n），（m，n）共有7种，每种情况出现的可能性相等，所以至少选派一名女同志参加的概率【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题19已知函数f（x）=ax22lnx，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【专题】综合题；导数的
26、概念及应用【分析】（）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x22lnx+x，f（1）=，f（x）=x，切线的斜率k=f（1）=1，切线方程为：y=（x1），即2x+2y3=0；（）由题意知：f（x）的定义域为（0，+），f（x）=（x0），a0时，f（x）0，f（x）的单调递减区间为：（0，+），a0时，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键20（13分
27、）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2，数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+2（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前2n项和T2n【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】计算题【分析】（1）当n=1，可求a1，n2时，an=SnSn1可得an与an1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求an，由bn+1=bn+2，可得bn是等差数列，结合等差数列的通项公式可求bn（2）由题意可得，然后结合等差数列与等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解【解答】解：（1）当n=1，a1=2； 当n2时，an=SnSn1=2an2an1，an=2an1an是等比数列，公比
28、为2，首项a1=2，由bn+1=bn+2，得bn是等差数列，公差为2又首项b1=1，bn=2n1（2）+3+7+（4n1）= 【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的应用及求和公式的应用，体现了分类讨论思想的应用21（14分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线（）求函数f（x），g（x）的解析式；（）求函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（）判断函数F（x）=2f（x）g（x）+2零点个数【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，利用两函数在
29、x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（）F（x）=4ex（x+1）x24x，求导，确定F（x）在（，2），（ln2，+）上单调递增，在（2，ln2）上单调递减，即可得出结论【解答】解：（） f（x）=aex（x+2），g（x）=2x+b由题意，两函数在x=0处有相同的切线f（0）=2a，g（0）=b，2a=b，f（0）=a=g（0）=2，a=2，b=4，f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2（）f（x）=2ex（x+2）
30、，由f（x）0得x2，由f（x）0得x2，f（x）在（2，+）单调递增，在（，2）单调递减t3，t+12当3t2时，f（x）在t，2单调递减，2，t+1单调递增，当t2时，f（x）在t，t+1单调递增，；（）由题意F（x）=4ex（x+1）x24x求导得F（x）=4ex（x+1）+4ex2x4=2（x+2）（2ex1），由F（x）0得xln2或x2，由F（x）0得2xln2F（x）在（，2），（ln2，+）上单调递增，在（2，ln2）上单调递减F（4）=4e4（4+1）16+16=12e40故函数F（x）=2f（x）g（x）+2只有一个零点（13分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题