1、高考资源网（） 您身边的高考专家14计数应用题1.了解计数应用题中的常见问题类型2.理解排列、组合的概念及公式应用3掌握解决排列组合综合应用题的方法1解排列组合混合应用题时，首先应区分是排列，还是组合关键看问题是否与所选的元素的顺序有关，若与顺序有关则为排列，否则为组合2对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与分步两个计数原理的综合运用，且应遵循先组合后排列，即先算组合后算排列的原则，在分类、分步时，要做到不重不漏3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)6本不同的书分成3组，一组4本，其余组各1本，共有15不同的分法()(2)
2、7名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20种()(3)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有20种()答案：(1)(2)(3)2用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为_解析：分两类，一类是末位是2时，有A个；另一类是末位是4时，有A个，共有2A24个答案：243某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为_解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C
3、CCCC80种答案：804房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为_解析：因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法5个灯全开有C种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有CCC31种答案：31排列应用题用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个能被3整除的四位数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，则第85个数是多少？【解】(1)法一：(直接法)可组成不同的四位数AA300(个)法二：(间接法)可组成不同的四位
4、数AA300(个)(2)各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，符合题意的有：含0，3，则需从1，4和2，5中各取1个，可组成CCCA个能被3整除的四位数；含0或3中的一个，均不适合题意；不含0，3，由1，2，4，5可组成A个能被3整除的四位数所以可组成能被3整除的四位数CCCAA96(个)(3)1在千位的数有A60(个)；2在千位，0在百位的数有A12(个)；2在千位，1在百位的数有A12(个)以上的四位数共有84个，故第85个数是2 301.不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有奇偶数关系、倍数关系、大小关系等，也有相邻问题、插空问题、与数列等知识相联系的问题等解
5、决这类问题的关键是弄清事件是什么、元素是什 么、位置是什么、给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决，这类问题中的隐含条件“0不能在首位”绝不能忽略1.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？解：注意到“0”的特殊性，故分两类来讨论第一类：不含“0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5这三个数字中任选两个作排列有A种；进而将2和3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有A种排法，于是不含0且符合条件的四位数共有AA36(个)第二类：
6、含有“0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5这三个数字中任选一个，而后与0，2，3进行全排列，这样的排列共有AA个其中，有如下三种情况不合题意，应当排除：(1)0在首位的，有AA个；(2)0在百位或十位的，但2与3相邻的，有2AA个；(3)0在个位的，但2与3相邻的，有A2A个因此，含有0的符合条件的四位数共有AA(AA4AA)30(个)于是可知，符合条件的四位数共有363066(个)组合应用题某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少
7、种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法(2)法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法，根据分类计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有CCCC185种抽调方法(3)“至多2名”包括“没
8、有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略 2.某大学要从16名大学生(其中男生10名，女生6名)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”(1)如果小组中
9、至少有3名女生，那么可组成多少个不同的小组？(2)如果小组中至少有5名男生，那么可组成多少个不同的小组？(3)如果小组中至多有3名女生，那么可组成多少个不同的小组？解：(1)至少有3名女生的不同小组数，可划分为如下四类：有3名女生的不同小组数为CC个；有4名女生的不同小组数为CC个；有5名女生的不同小组数为CC个；有6名女生的不同小组数为CC个所以至少有3名女生的不同小组数为CCCCCCCC20252152106120458 955(个)(2)至少有5名男生的不同小组数，可划分为如下四类：有5名男生的不同小组数为CC个；有6名男生的不同小组数为CC个；有7名男生的不同小组数为CC个；有8名男生
10、的不同小组数为CC个所以至少有5名男生的不同小组数为CCCCCCCC20252152106120458 955(个)(3)至多有3名女生的不同小组数，可以划分为如下四类：不含女生的不同小组数为C个；只含1名女生的不同小组数为CC个；只含2名女生的不同小组数为CC个；只含3名女生的不同小组数为CC个所以至多有3名女生的不同小组数为CCCCCCC45612015210202528 955(个)排列组合综合问题有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代
11、表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表【解】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有(CCCC)种，后排有A种，所以共有不同选法(CCCC)A5 400(种)(2)除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法CA840(种)(3)先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法CCA3 360(种)(4)先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有C种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有C种，其余3人全排列有A种，所以共有不同选法CCA360(种
12、)本题不仅要求选出5个元素，还要求分配在5个空位上，因此是一道“既选又排”的排列与组合的综合问题该类问题的处理方法是“先选后排”，同时注意特殊元素优先安排的原则 3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解：(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排成偶数先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法所以N1CCAA.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排顺序又可分为两小类：末位排0，有AA种排列方法；末位不排0.这时末位数有C种选法，而因为零不能排
13、在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法所以N2CC(AAAA)所以符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.两个计数原理是解决计数问题的根本，在解题中要抓住“分类”还是“分步”，“组合”(无序)还是“排列”(有序)本节学习过程中，注意以下原则：(1)特殊元素(或位置)优先安排；(2)“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；(3)混合问题，先“组”后“排”按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给
14、甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本【解】(1)无序不均匀分组问题先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法故共有分配方式CCC60(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式CCCA360(种)(3)无序均匀分组问题先分三组，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB
15、，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有15(种)(4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式ACCC90(种)(5)无序均匀分组问题共有分配方式15(种)(6)有序均匀分组问题在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A90(种)(7)直接分配问题甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法；余下4本留给丙，有C种方法，共有分配方式CCC30(种)均匀分组与不均
16、匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有()A26种B84种C35种D21种解析：选C.从7名队员中选出3人有C35种选法2用0，1，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261D648解析：选B.0，1，2，9共能组成91010900个三位数，其中无重复数字的三位数有99864
17、8个，所以有重复数字的三位数有900648252个3在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.答案：604从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：分两步，第一
18、步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步计数原理知共有5512660种不同的选法答案：660 A基础达标1有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有()A72种B54种C48种D8种解析：选C.用分步计数原理：第一步：先排每对师徒有AAA，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A种，由分步计数原理共有A(A)348种2从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是()A36B42C48D54解析：选C.若从0，2，4中取一个数字是“0”，
19、则“0”不放百位，有C种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A种放法，共组成CA12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C种取法，再从1，3，5中取两个数字有C种取法，共组成CCA36个三位数所以所有不同的三位数有123648(个)3安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A72种B96种C120种D156种解析：选B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A120种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形
20、成了4个间隔，任选3个安排丁，故有AC24种，故丁至少要有两天连续安排1202496种，故选B.4用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有()A324个B216个C180个D384个解析：选A.个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CACAC90(个)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数、2个奇数的有CACCCAC234(个)根据分类计数原理得到共有90234324(个)故选A.5在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位
21、置上的数字相同的信息条数为()A10B11C12D15解析：选B.由题意可分为3类第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C种方法第二类，有1个对应位置上的数字相同，有C种方法第三类，有2个对应位置上的数字相同，有C种方法故共有CCC11(条)，故选B.6将3个不同的小球放入编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子内，6号盒子中至少有1个球的放法种数是_解析：本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答，可列式为C(AA)CAC91(种)答案：917从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作
22、答)解析：按每科选派人数分3、1、1和2、2、1两类当选派人数为3、1、1时，有3类，共有CCCCCCCCC200种当选派人数为2、2、1时，有3类，共有CCCCCCCCC390种故共有590种答案：5908某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为_解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA21024480种选法第二类，甲、乙都参加时，则有C(AAA)10(2412)120种选法所以共有480120600种选法答案：6009有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只
23、会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？解：设集合A只会划左舷的3人，B只会划右舷的4人，C既会划左舷又会划右舷的5人先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人，C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得的选法种数故共CCCCCCCCCCC2 174种不同的选法10已知直线1(a，b是非零常数)与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有多少条？解：如图所示，
24、在圆x2y2100上，整点坐标有(10，0)，(6，8)，(6，8)，(6，8)，(6，8)，(8，6)，(8，6)，(8，6)，(8，6)，(0，10)共12个点这12个点确定的直线为C条，过这12个点的切线有12条，由于a，b不为零，应去掉过原点的直线6条，又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有C12(612)60(条)B能力提升16位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为_解析：设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示若任意两位同学之间都进行交换
25、共进行C15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如ab和ac之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人(2)由4人构成的2次交换，如ab和ce之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人答案：2或42将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：法一：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种所以满足条件的分配方案有A36(种)法二：先从4名大学生中选出2名作为一个小组，再连同其他2
26、名进行全排列即可，即CA36(种)答案：363有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCCA144种(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有
27、2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法，4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有A种方法故共有C(CCAA)84种4(选做题)把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？解：(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一个车，共有C种，再上第二车共有C种，再上第三车共有C种，最后上第四车共有C种，按分步计数原理有CCCC2 520种(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A种不同方法，同理，女同志也有A种方法，由分步计数原理，车上男女各1人的不同分配方法为AA576种(3)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有3种，4个女的平均分成两组也有3种不同分法，这样分组方法就有339种，对于其中每一种分法上4辆车，又有A种上法，因而不同分配方法为9A216种高考资源网版权所有，侵权必究！
