1、 数学试题（文史类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A B C D2已知复数，则下列说法正确的是（ ）A的虚部为 B的共轭复数为C D在复平面内对应的点在第二象限3.已知数列中，则数列的通项公式（ ）A B C D4.已知5件产品中有2件次品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A0.4 B0.6 C0.8 D15.下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”B若命题，则C中，是的充要条件D若向量满足，则与的夹角为钝角6.若用下
2、边的程序框图求数列的前100项和，则赋值框和判断框中可分别填入（ ）ABCD7.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A B C D8.设实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A64 B32 C D19.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A B C D10.设是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D511.函数是定义上的偶函数，且满足，当时，若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D12.数列满足，且对任意的都有，则的前100项和为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填
3、空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，且与的夹角为，则 14.已知函数，且，则 15.曲线在点处的切线与坐标围成的三角形的外接圆方程是 16.棱长为的正方体中，若与平行的平面截正方体所得的截面面积为，则的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知是斜三角形，分别是的三个内角的对边，若.（1）求角；（2）若，且，求的面积.18. （本小题满分12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量数
4、据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，.（1）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声音源的影响，这两个生源的声音能量分别是和，且，已知点的声音能量等于声音能量和之和，请根据中的回归方程，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：19. （本小题满分12分）如图，在多面体中，底面是边长为2的正方形，四边形是矩形，且平面平面，和分别是和的中点.（1）求证：平面；（2）求.20. （本小题满分12分）已知点是圆上任意一点（是圆心），点
5、与点关于原点对称，线段的中垂线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）直线经过，与抛物线交于两点，与交于两点，当以为直径的圆经过时，求.21. （本小题满分12分）已知函数，在处取得极值.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）若方程有三个实根（），求证：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，内接于圆，为圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.（1）求证：；（2）求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极
6、轴，建立极坐标系，已知曲线：（为参数），：（为参数）.（1）求的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数，为上的动点，求中点到直线距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.参考答案CBCBD BCBAD BD13. 14. 15. 16. 17.解：（1）根据正弦定理：，可得，.（2），为斜三角形，18.解：（1）令，先建立关于的线性回归方程，由于，关于的线性回归方程是：，关于的线性回归方程是：.（2），根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值：，点会受到噪声污染的干扰.19.解：（1）证明：设，连
7、接，在中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，则到平面的距离为的一半，又因为，所以，所以.20.解：（1）由题意得：，圆的半径为4，且，从而，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中长轴长，得到，焦距，则短半轴，所以椭圆方程为：.（2）当直线与轴垂直时，又，此时，所以，以为直径的圆不经过，不满足条件.当直线与轴不垂直时，设，由，得，因为在椭圆内部，所以恒有两个交点，设，则，因为以为直径的圆经过，所以，所以，即，解得：.由，得，因为直线与抛物线有两个交点，所以，设，则，.所以.21解：（1）由已知，所以，由，得或；由，得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知，极小值，极大值为，可知方程三个实根满足，设，则，即，所以，由（1）知函数在上单调递减，从而，即，同理设，即，由（1）知函数在上单调递增，从而，即，由可得：得证.22.（1）是圆的切线，又是公共角，.（2）由切割线定理得：，又，又是的平分线，,，又由相交弦定理得：.23.（1），的圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点的椭圆.（2）当时，故，为直线，到的距离，从而当，时，取得最小值.24.（1）由题意，原不等式等价为，令，所以不等式的解集是.（2）要证，只需证，只需证，而，从而原不等式成立.
