1、(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2011皖南八校联考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，则下列结论不正确的是()Ae1在e2方向上的投影为cosBeeC(e1e2)(e1e2)De1e21解析：e1e2|e1|e2|coscos，故D不成立答案：D2已知sin()2sin()，则sincos()A.BC.或 D解析：由于sin()2sin()sin2cos，又sin2cos21，所以cos2，则sincos2cos2.答案：B3对于任何，(0，)，sin()与sinsin的大小关系是()
2、Asin()sinsinBsin()sinsinCsin()sinsinD. 要以，的具体值而定解析：sin()sincoscossin，0cos1,0cos1，所以sin()0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为()A(，0) B(，0)C(，0) D(0,0)解析：f(x)2sin(ax)(a0)，T1，a2.f(x)2sin(2x)，由2xk，kZ，得x，kZ，当k1时，x，故(，0)是其图像的一个对称中心答案：C8理要得到函数f(x)sin的导函数f(x)的图像，只需将f(x)的图像()A向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B向左平移个单位，再把各点
3、的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)C向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)D向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)解析：由于f(x)2cos，又由于f(x)sincos，将其图像向左平移个单位后得ycos，然后将各点的纵坐标伸长到原来的2倍即得f(x)2cos的图像答案：C文已知a(cosx，sinx)，b(sinx，cosx)，记f(x)ab，要得到函数ycos2xsin2x的图像，只需将函数yf(x)的图像()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度解析：f(x)cosxsinxsinxcosxsin2
4、x，而函数ycos2xsin2xcos2xsin，由f(x)向左移个单位可得到答案：C9在梯形ABCD中，ABCD，且|AB|DC|，设a，b，则()Aab BabC.ab Dab解析：bba.故选C.答案：C10如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sinC的值为()A. B.C. D.解析：设ABc，则ADc，BD，BC，在ABD中，由余弦定理得cosA，则sinA.在ABC中，由正弦定理得，解得sinC.答案：D11已知函数yAsin(x)m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是()Ay4sin
5、 By2sin2Cy2sin2 Dy2sin2解析：据函数的最值可得Am2，又由周期可得，解得4，故f(x)2sin(4x)2，又直线x是函数图像的一条对称轴，代入B，D选项，根据对称轴的意义(使函数取得最值)验证易得D选项满足条件答案：D12(2011天津高考)已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x)在区间4，6上是减函数解析：f(x)的最小正周期为6，.当x时，f(x)有最大值，2k(kZ)，2k.，.f(x)2si
6、n()，由此函数图像易得，在区间2，0上是增函数，而在区间3，或3，5上均没单调性，在区间4，6上是单调增函数答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中的横线上)13(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：ab与kab垂直，(ab)(kab)0，化简得(k1)(ab1)0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得ab10，得k10，即k1.答案：114(2011惠州模拟)方程x23ax3a10(a2)的两根为tanA，tanB，且A，B(，)，则AB_.解析：由根与系数的关系tanAtanB3
7、a，tanAtanB3a1，则tan(AB)1.又A，B(，)，AB(，)，tanAtanB3a0，所以tanA0，tanB0)的图像向右平移个单位长度后，与函数ytan(x)的图像重合，则的最小值为_解析：由已知tan(x)tan(x)tan(x)，得k(kZ)，6k(kZ)0，当k0时，的最小值为.答案：16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(bc)(ca)(ab)456，给出下列结论ABC的边长可以组成等差数列；0；若bc8，则ABC的面积是.其中正确的结论序号是_解析：(bc)(ca)(ab)456，abc753，则2bac，得ABC的边长可以组成等差数列，即命题正
8、确；设a7k，b5k，c3k，则cosA0，得角A为钝角，0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像解：(1)f(x)sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函数f(x)sinxcosx的振幅为2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图像如图.2x02xy2sin(2x)0202018(本小题满分12分)(2011天津高考)已知函数f(x)tan(2x)，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设(0，)，若f()2cos 2，求的大小解：(1)由2xk，kZ，得x，kZ，所以f(x)的定义域为
9、xR|x，kZf(x)的最小正周期为.(2)由f()2cos2，得tan()2cos2，2(cos2sin2)，整理得2(cossin)(cossin)因为(0，)，所以sincos0.因此(cossin)2，即sin2.由(0，)，得2(0，)所以2，即.19(本小题满分12分)(2011湖南高考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC.(1)求角C的大小；(2)求sinAcos(B)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小解：(1)由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因为0A，所以sinA0，从而sinCcosC.又cosC0，所以tanC1
10、，则C.(2)由(1)知，BA.于是sinAcos(B)sinAcos(A)sinAcosA2sin(A)因为0A，所以A.从而当A，即A时，2sin(A)取最大值2.综上所述，sinAcos(B)的最大值为2，此时A，B.20(本小题满分12分)已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x1.(1)设方程f(x)10在(0，)内有两个零点x1，x2，求x1x2的值；(2)若把函数yf(x)的图像向左平移m(m0)个单位使所得函数的图像关于点(0,2)对称，求m的最小值解：(1)由题设f(x)sin2x1cos2x1cos(2x)2，f(x)10，cos(2x)10.cos(2x)，由2x2
11、k或2x2k，kZ，得xk或xk.x(0，)，x1，x2.x1x2.(2)设yf(x)的图像向左平移m个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)cos(2x2m)2，yg(x)的图像关于点(0,2)对称，2mk，kZ.2mk，kZ.m，kZ.m0，k0时，m取得最小值.21(本小题满分12分)已知A，B是ABC的两个内角，acosisinj(其中i、j是互相垂直的单位向量)，若|a|.(1)试问tanAtanB是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；(2)求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状解：(1)|a|22cos2sin2，1cos(AB)，即cosAcosBsinAsinB0，
12、化简整理，得0，故tanAtanB为定值.(2)由(1)可知A，B为锐角tanCtan(BA)3.tanC的最大值为，此时ABC为钝角三角形22(本小题满分14分)在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P，有一轮船按一固定方向航行，上午1100时，测得此轮船在岛北偏东30、俯角为30的B处，到1110时，又测得该船在岛北偏西60、俯角为60的C处，如图所示(1)求船的航行速度；(2)又经过了一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在RtPAB中，APB60，PA1，故AB.在RtPAC中，APC30，所以AC.在ACB中，CAB306090，BC .故所求航速为2 km/h.(2)DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACB.sinCDAsin(ACB30)sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中，根据正弦定理得，.所以AD.所以此时船距离A为 km.