1、第2课时正切函数的图象与性质1.了解正切函数的图象2.理解正切函数在上的性质3掌握函数ytan x的图象、性质及应用函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan(x)tan x()解析：(1)错误如x1，x2，但tan tan ，不符合增函数的定义(2)错误正切函数在每个单调区间上都为
2、增函数(3)错误正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的(4)错误当xk(kZ)时，tan x没有意义，此时式子tan(x)tan x不成立答案：(1)(2)(3)(4)2函数ytan的最小正周期为()ABC2D3答案：A3函数f(x)tan的定义域是_，f_解析：由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.答案：4函数ytan x的单调递减区间是_解析：因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ)答案：(kZ)与正切函数有关的定义域问题求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg.【解】(1)要使函数y有意义，需使所以函
3、数的定义域为.(2)因为tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.(1)求由三角函数参与构成的函数的定义域，对于自变量必须满足：使三角函数有意义，例如，若函数含有tan x，则xk，kZ；分式形式的分母不等于零；偶次根式的被开方数不小于零 (2)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集1.(1)求函数y的定义域；(2)求函数ylg(1tan x)的定义域解：(1)由题意得tan x0，即tan x，结合正切函数的图象知kxk(kZ)，所以函数的定
4、义域为.(2)由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为，所以所求x的范围是(kZ)，即函数的定义域是(kZ)正切函数的单调性及其应用(1)求函数ytan的单调区间，并求其最小正周期；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小【解】(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数ytan的单调递减区间是(kZ)T2，所以函数ytan的最小正周期为2.(2)因为tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又因为2，所以20.因为3，所以30.显然231，且ytan x在内是增函数，所以tan(2)tan(3)tan 1，
5、即tan 2tan 3tan 1.(1)对于求yAtan(x)(A、为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再由kxk(kZ)求得x的范围即可(2)运用正切函数单调性比较大小的步骤运用诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小 2.求函数y，x的最大值和最小值解：ytan2x1tan x.因为x，ytan x在上是增函数，tan 00，tan1，所以tan x0，1，所以当tan x时，ymin；当tan x0或1时，ymax1.即原函数的最大值是1，最小值是.与正切函数有关的图象问题画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性【解】由yta
6、n x得，y其图象如图，由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.将本例中的函数y|tan x|改为ytan |x|，回答同样的问题，结果又如何？解：由ytan |x|得y根据ytan x的图象，作出ytan |x|的图象如图：由图象可知，函数ytan |x|是偶函数，单调增区间为，(k0，1，2，)；单调减区间为，(k0，1，2，)，不具有周期性(1)作函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周
7、期上的图象，再利用周期性，延拓到整个定义域上即可 3.求函数ytan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间，内的图象解：定义域为；值域为(，)；最小正周期为；对应图象如图所示：1正切函数的性质(1)正切函数常用的三条性质对称性：正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴单调性：正切函数在每个区间(kZ)内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的渐近线：直线xk(kZ)称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线(2)对函数yAtan(x)k(0)周期的两点说明一般地，函数yAtan(x)k(0
8、)的最小正周期T.当0时，函数yAtan(x)k具有周期性，最小正周期是.2“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(k，0)，其中kZ；两线为直线xk和直线xk，其中kZ(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可求函数y的定义域【解】要使函数y有意义，则需所以函数的定义域为.(1)错因：本题易错点为：由y有意义，得1tan x0，即tan x1，即xk，kZ；从而所求函数的定义域为.此解法的错误是求定义域时未注意正切函数自身的限制条件(2)防范：在与正
9、切函数有关的函数的定义域问题中，除函数的限制条件外，还要注意正切函数ytan x自身的限制条件，即.1函数y的值域是()A(1，1)B(，1)(1，)C(，1)D(1，)解析：选B因为x，所以1tan x1，所以(，1)(1，)，故选B2函数ytan满足下列哪些条件_(填序号)在上单调递增；为奇函数；以为最小正周期；定义域为.解析：令0x得0，所以ytan在上单调递增tantan，故为奇函数T2，故不正确令k(kZ)，得x2k(kZ)，所以定义域为x|x2k，kZ，所以不正确答案：3比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167，tan 173；(2)tan，tan.解：(1)因为901671
10、73180，ytan x在(90，180)上为增函数，所以tan 167tan 173.(2)因为tantan，tantan，且0，ytan x在上为增函数，所以tantan，即tantan.学生用书P91(单独成册)A基础达标1函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数解析：选Df(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.2函数 y 的定义域为()A，kZB，kZC，kZD，kZ解析：选 C由 1tan0，得tan1，所以 kxk，kZ，解得 k1 成立的 x 的取值范围为()ABCD解析：选 D因为 x(0，2)，由
11、正切函数的图象，可得使 tan x1 成立的 x 的取值范围为.6函数y3tan的对称中心是_解析：因为2x，kZ，所以x.答案：，(kZ)7已知函数ytan x在内是减函数，则的范围为_解析：因为ytan x在内是减函数，所以0且T.所以|1，即10.答案：108函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则f的值是_解析：由题意知，f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，即T.又因为T，所以，所以4.所以f(x)tan 4x，所以ftantan 0.答案：09(1)利用正切函数的单调性比较tan与tan的大小；(2)已知f(x)asin xb t
12、an x1满足f7，求f的值解：(1)因为tantantan，tantantan .显然，由于函数ytan x在上是增函数，所以tantan，即tan3tan，所以f()f.B能力提升1函数f(x)tan2x的单调增区间是_解析：f(x)(kZ)，作出f(x)的图象如图，由图象可得单调增区间为(kZ)答案：2已知点 M(3，1)，若函数 ytan xx(2，2)的图象与直线 y1 交于点 A，则|MA|_解析：令 ytan x1，解得 x14k，kZ，又 x(2，2)，所以 x1，所以函数 ytan x 与直线 y1 的交点为 A(1，1)，又 M(3，1)，所以|MA|2.答案：23已知正切函数yAtan(x) 的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，3)，求函数的表达式解：因为和是图象与x轴相交的两相邻点，故这个函数的周期T.因为，所以.将点代入yAtan得：0Atan，因为|，所以，将点(0，3)代入yAtan得：3Atan，所以A3，故所求的函数表达式为y3tan.4(选做题)若函数f(x)2tan(x)(0)的最小正周期为2，求f(x)的单调区间解：因为f(x)2tan(x)(0)的最小正周期为2，所以2，所以|.又因为0，所以.即f(x)2tan(x)2tan(x)由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数f(x)的单调减区间为(2k，2k)(kZ)