1、8.4直线、平面平行的判定与性质【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用【知识梳理】1线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行ab2面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab【常用结论】
2、(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a，b，则ab.(4)若，a，则a.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)若直线a平面，直线b平面，ab，则.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()【教材改编题】1下列说法中，与“直线a平面”等价的是()A直线a上有无数个点不在平面内B直线a与平面内的所有直线
3、平行C直线a与平面内无数条直线不相交D直线a与平面内的任意一条直线都不相交答案D解析因为a平面，所以直线a与平面无交点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交2已知不重合的直线a，b和平面，则下列选项正确的是()A若a，b，则abB若a，b，则abC若ab，b，则aD若ab，a，则b或b答案D解析若a，b，则ab或异面，A错；若a，b，则ab或异面或相交，B错；若ab，b，则a或a，C错；若ab，a，则b或b，D对3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_答案平行四边形解析平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DC
4、GHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：(1)PB平面ACF；(2)EF平面PAB.证明(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，又F是PD的中点，OFPB，又OF平面ACF，PB平面ACF，PB平面ACF.(2)取PA的中点G，连接GF，BG.F是PD的中点，GF是PAD的中位线，GF綉AD，底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，BE綉AD，GF綉BE，四边形BEFG是平行
5、四边形，EFBG，又EF平面PAB，BG平面PAB，EF平面PAB.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PAGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAOM，又OM平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD，又平面PAHG平面BMDGH，PAGH.备选如图，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形证明四边形ABCD为矩形，BC
6、AD.AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD.平面BCFE平面PADEF，BC平面BCFE，BCEF.ADBC，ADEF，BCEF，四边形BCFE是梯形思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法利用线面平行的定义(无公共点)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)利用面面平行的性质(，aa)利用面面平行的性质(，a，aa)(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线跟踪训练1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)若平面ADM平面BDEl，平面ABM平面BDEm，试分析
7、l与m的位置关系，并证明你的结论(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AMOE.又因为OE平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)解lm，证明如下：由(1)知AM平面BDE，又AM平面ADM，平面ADM平面BDEl，所以lAM，同理，AM平面BDE，又AM平面ABM，平面ABM平面BDEm，所以mAM，所以lm.题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)(1)求证：BCGH；(2)
8、若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1平面BCHG.证明(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面A1B1C1，又平面BCHG平面ABCBC，且平面BCHG平面A1B1C1HG，由面面平行的性质定理得BCGH.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.延伸探究在本例中，若将
9、条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设，所以1，即1.【备选】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点(1)求证：平面A1C1G平面BEF；(2)若平面A1C1GBCH，求证：H为BC的中点证明(1)E，F分别为B1C1，A1B1的中点，EFA1C1，A1C1平面A1C1G，EF平面
10、A1C1G，EF平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，A1FBG，又A1FBG，四边形A1GBF为平行四边形，则BFA1G，A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G，BF平面A1C1G，又EFBFF，EF，BF平面BEF，平面A1C1G平面BEF.(2)平面ABC平面A1B1C1，平面A1C1G平面A1B1C1A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1GH，得GHAC，G为AB的中点，H为BC的中点思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l，l)(3)利用面面平行的
11、传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(，)跟踪训练2如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面CD1B1直线l，证明：B1D1l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD，所以平面A
12、1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面CD1B1直线l，平面ABCD平面A1BD直线BD，所以直线l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.题型三平行关系的综合应用例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点(1)求证：BD1平面AEC；(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC平面BFD1，若存在，请说明理由(1)证明如图，连接BD交AC于O，连接EO.因为ABCDA1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC，BD交于O点，所以O为BD的中点
13、，又因为E为DD1的中点，所以在DBD1中，OE是DBD1的中位线，所以OEBD1.又因为OE平面AEC，BD1平面AEC，所以BD1平面AEC.(2)解当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC平面BFD1.连接BF，D1F，因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF綉ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1FEC，又因为EC平面AEC，D1F平面AEC，所以D1F平面AEC.由(1)知BD1平面AEC，又因为BD1D1FD1，BD1，D1F平面BFD1，所以平面AEC平面BFD1.【备选】如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求
14、证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线
15、、线面、面面平行的综合问题的关键面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法跟踪训练3如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围(1)证明四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.(2)解设EFx(0x4)，由(1)知EFAB，与(1)同理可得CDFG，则1，FG6x.四边形EFGH的周长L212x.又0x4，8L12，
16、故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)课时精练1(2022宁波模拟)下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b，正确2设l是直线，是两个不同的平面，则下列能判断l的是()Al，Bl与平面内无数条直线平行Cl，Dl，答案C解析对于A，l可能在内，故不能判断l，故A不正确；对于B，l可能在内，故不能判断l，故B
17、不正确；对于C，因为l，由面面平行的定义得l，故C正确；对于D，l可能在内，故不能判断l，故D不正确3(2022成都模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AM2MA1，BN2NB1，过MN作一平面分别交底面ABC的边BC，AC于点E，F，则()AMFEBBA1B1NEC四边形MNEF为平行四边形D四边形MNEF为梯形答案D解析由于B，E，F三点共面，F平面BEF，M平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1平面B1NE，A1平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；在平行四边形AA1B1B中，AM2MA1，BN2NB1，AMBN，AMBN，故四边
18、形AMNB为平行四边形，MNAB.又MN平面ABC，AB平面ABC，MN平面ABC.又MN平面MNEF，平面MNEF平面ABCEF，MNEF，EFAB，显然在ABC中，EFAB，EFMN，四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确4(2022杭州模拟)已知P为ABC所在平面外一点，平面平面ABC，且交线段PA，PB，PC于点A，B，C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A23 B25C49 D425答案D解析平面平面ABC，ACAC，ABAB，BCBC，SABCSABC(PAPA)2，又PAAA23，PAPA25，SABCSABC425.5如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点
19、，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案D解析A项，由正方体性质可知ABNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ，AB平面MNQ，排除；B，C项，由正方体性质可知ABMQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ，AB平面MNQ，排除；D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MNQ不平行，满足题意6如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平
20、面平行；当容器倾斜如图(3)所示时，AEAH为定值A BC D答案B解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知错误；因为A1C1AC，AC平面ABCD，A1C1平面ABCD，所以A1C1平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEHBFG的体积V为定值，又VSAEHAB，高AB不变，所以SAEH也不变，即AEAH为定值，故正确7考
21、查两个命题，l；l，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，为平面)，则此条件为_答案l解析由线面平行的判定定理知l；由线面平行的判定定理知l.8.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN(图略)，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN
22、，MN平面B1BDD1.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)BFHD1；(2)EG平面BB1D1D；(3)平面BDF平面B1D1H.证明如图 (1)取B1B的中点M，连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，则OE綉DC.又D1G綉DC，OE綉D1G.四边形OEGD1是平行四边形，EGD1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.(3)由(1)知BFHD1，由题意易证B1D1BD.又B1D1，
23、HD1平面B1D1H，BF，BD平面BDF，且B1D1HD1D1，DBBFB，平面BDF平面B1D1H.10.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)如图，连接EC，因为ADBC，BCAD，所以BCAE，BCAE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点又因为F是PC的中点，所以FOAP，因为FO平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FHPD，因为PD平面P
24、AD，FH平面PAD，所以FH平面PAD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OHAD，因为AD平面PAD，OH平面PAD，所以OH平面PAD.又FHOHH，FH，OH平面OHF，所以平面OHF平面PAD.又因为GH平面OHF，所以GH平面PAD.11(2022福州检测)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是()A直线BQ平面EFGB直线A1B平面EFGC平面APC平面EFGD平面A1BQ平面EFG答案B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ
25、，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；A1BHE，A1B平面EFG，HE平面EFG，A1B平面EFG，故B正确；AP平面ADD1A1，HG平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误12.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案2解析因为平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD平面PQNMPQ，平面A1B1C1D1平面PQNMMN，所以MNPQ，又因为MNAC，所以PQAC.又因为
26、AP1，所以，所以PQAC32.13在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ，所以平面D1BQ平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.14在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G
27、为PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为_答案8解析如图，过点G作EFAC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作ENPB交AB于点N，过点F作FMPB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EFMNAC2，FMENPB2，所以截面的周长为248.15(2022合肥市第一中学模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1平面AMN，则PA1的长度范围为()A. B.C. D.答案B解析取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接
28、A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示，点M，N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，AM，MN平面AMN，A1E，EF平面A1EF，平面AMN平面A1EF，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1平面AMN，点P的轨迹是线段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，A1O，当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1EA1F.PA1的长度范围为.16(2022郑州模拟)如图，在三棱锥PABC中，AC，BC，PC两两垂直，
29、ACBC，E，F分别是AC，BC的中点，ABC的面积为8，四棱锥PABFE的体积为4.(1)若平面PEF平面PABl，求证：EFl；(2)求三棱锥PABC的表面积(1)证明E，F分别是AC，BC的中点，EFAB，AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.又平面PEF平面PABl，EF平面PEF，EFl.(2)解AC，BC，PC两两垂直，ACBCC，AC，BC平面ABC，PC平面ABC，即PC是四棱锥PABFE的高SABC8，ACBC，ACBC，ACBC4.E，F分别是AC，BC的中点，VPABFE4，ACBCPC4，即PC2.PA2，PB2，AB4.PAB的面积为44.三棱锥PABC的表面积S24284164.
