1、第六章 数列6.1数列的概念【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数【知识梳理】1数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an10，a11，则an_.答案n2n1解析由2(n1)a(n2)anan1na0得n(2aanan1a)2an(anan1)0，n(anan1)(2anan1)2an(anan1)0，(anan1)(2anan1)n2an0，又an0，2n
2、an2annan10，又a11，当n2时，ana112n1n.又n1时，a11适合上式，ann2n1.思维升华(1)形如an1anf(n)的数列，利用累加法，即利用公式an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)，即可求数列an的通项公式(2)形如f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，n1，代入f(n)，再把所得的(n1)个等式相乘，利用ana1(n2)即可求数列an的通项公式跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，若a12，an1an2n11，则an_.答案2n1n解析an1an2n11，an1an2n11，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2
3、a1)a12n22n321a1n12n12n1n.又a12满足上式，an2n1n.(2)已知数列an满足：a12，且an1an2n(an1an)(nN*)，则an_.答案4n2解析由an1an2n(an1an)，可得(2n1)an1(2n1)an，所以，则当n2时，ana122(2n1)4n2，当n1时，a12也符合上式，所以an4n2.题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，(n1)22(n1)n22n2n120，即2n12对任意的nN*都成立，于是有min，由1可推得，但反过来，由不能得到1，因此“1”是“数列an为递增数列”的充分不
4、必要条件命题点2数列的周期性例5数列an满足a12，an1(nN*)，则a2 023等于()A2 B1C2 D.答案C解析数列an满足a12，an1(nN*)，a21，a3，a42，可知此数列有周期性，周期T3，即an3an，则a2 023a12.命题点3数列的最值例6已知数列an的通项公式an(n1)n，则数列an的最大项为()Aa8或a9 Ba9或a10Ca10或a11 Da11或a12答案B解析结合f(x)(x1)x的单调性，设数列an的最大项为an，所以所以解不等式组可得9n10.所以数列an的最大项为a9或a10.【备选】1已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k
5、的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)答案D解析因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)2在数列an中，a11，anan31，则log5a1log5a2log5a2 023等于()A1 B0Clog53 D4答案B解析因为anan31，所以an3an61，所以an6an，所以an是周期为6的周期数列，所以log5a1log5a2log5a2 023log5(a1a2a2 023)log5(a1a2a6)337a1，又因为a1a4a2a5a3a61，所以a1a2a61，所以原式log5(13371)log510
6、.思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)求数列的最大项与最小项的常用方法函数法，利用函数的单调性求最值利用(n2)确定最大项，利用(n2)确定最小项跟踪训练3 (1)在数列an中，an1若a1，则a2 023的值为()A. B. C. D.答案D解析a1，a22a11，a32a21，a42a35时，an0，且单调递减；当n5时，anan，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为nN*，所以(
7、2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.9已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13，由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知当n1时，a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1，于是a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n1个等式中等号两端分别相乘，整理得an.当n1时，a11满足an.综上可知，an的通项公式为an.10求下列数列an的通项公式(1)a11，an1an3n；(2)a11，an12nan.解(1)由an
8、1an3n得an1an3n，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)13132333n1，当n1时，a11，满足上式，an(nN*)(2)由an12nan得2n，当n2时，ana11222232n12123(n1).当n1时，a11满足上式，an(nN*)11已知数列an满足an且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B.C(1,3) D(2,3)答案D解析若an是递增数列，则即解得2a1；当n6时，ana1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.即a的取值范围是(10，8)
