2023年高考数学(文)一轮复习教案第4章4.docx

1、4.4 简单的三角恒等变换【考试要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)【知识梳理】1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2：sin 22sin cos .(2)公式C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)公式T2：tan 2.2常用的部分三角公式(1)1cos 2sin2，1cos 2cos2.(升幂公式)(2)1sin 2.(升幂公式)(3)sin2，cos2，tan2.(降幂公式)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(

2、1)若为第四象限角，则sin 20.()(2)设3，且|cos |，那么sin的值为.()(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的()(4)存在实数，使tan 22tan .()【教材题改编】1sin 15cos 15等于()A B. C D.答案B解析sin 15cos 15sin 30.2化简的结果是()Asin 2 Bcos 2C.cos 2 Dcos 2答案D解析因为，又cos 20，所以sin .2已知0，则 .答案cos 解析原式cos.因为0，所以00，所以原式cos .思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征(2

3、)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点跟踪训练1(1)2等于()A2cos 2 B2sin 2C4sin 22cos 2 D2sin 24cos 2答案B解析2222|sin 2cos 2|2|cos 2|.2，cos 20，sin 2cos 2sin，020，原式2(sin 2cos 2)2cos 22sin 2.(2)化简等于()A. B.C. D2答案B解析原式.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2(1)sin 40(tan 10)等于()A2 B2 C1 D1答案D解析sin 40(tan 10)sin 40

4、sin 40sin 40sin 40sin 40sin 401.(2)cos 20cos 40cos 100 .答案解析cos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.命题点2给值求值例3(1)若cos，则cos等于()A. BC. D答案C解析cos.cossinsin，cos12sin21.(2)(2022长春质检)已知sincos ，则sin等于()A. B. C D答案D解析sincos ，sin coscos sincos ，sin cos cos ，sin cos ，cos，sinsincos 22cos21221.命题点3给值求角例4已知，均为锐角，c

5、os ，sin ，则cos 2 ，2 .答案解析因为cos ，所以cos 22cos21.又因为，均为锐角，sin ，所以sin ，cos ，因此sin 22sin cos ，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin .因为为锐角，所以020，所以02，又为锐角，所以20，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2，由两角差的正弦公式，可得sinsin 2coscos 2sin.思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法(2)给值(角)求值问题的一般步骤化简条件式子或待求式子；观察条件与所求之间的联系，从

6、函数名称及角入手；将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练2(1)(2019全国)已知，2sin 2cos 21，则sin 等于()A. B. C. D.答案B解析由2sin 2cos 21，得4sin cos 12sin21，即2sin cos 1sin2.因为，所以cos ，所以2sin 1sin2，解得sin .(2)(2021全国乙卷)cos2cos2等于()A. B. C. D.答案D解析因为cossinsin，所以cos2cos2cos2sin2coscos.(3)已知sin2，则sin 2x .答案解析sin2，sin 2x.题型三三角恒等变换的综合应用例5(2022河南中原名校

7、联考)已知函数f(x)4cos xcos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若，且f()，求cos 2.解(1)f(x)4cos xcos4cos x2cos2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin 2x2cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由于，且f()，而f()2cos，所以cos，因为0，所以2，则2，所以sin，则cos 2coscoscossinsin.【备选】已知函数f(x)sincos.(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)若cos ，求f的值解(1)由题意得f(x)sincoss

8、in.因为x，所以x，所以sin，所以sin，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为.(2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以fsinsin(sin 2cos 2)(cos 2sin 2).思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练3(2022云南曲靖一中质检)已知向量a，b，函数f(x)ab.(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值

9、集合；(2)若，为锐角，cos()，f()，求f的值解(1)f(x)cos2sin22sincoscos xsin x2sin，令x2k(kZ)，得x2k，kZ，f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为.(2)由，为锐角，cos()，得sin()，0，又f()2sin，sin，0，且(0，)，00，02.tan 0，(0，)，21，所以函数f(x)的零点个数为函数ysin 2x(x1)与y|ln(x1)|(x1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解如图，连接OB，设AOB，则ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ，且.因为A，D关于原点O对称，所以AD2OA40cos .设矩形ABCD的面积为S，则SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为，所以当sin 21，即时，Smax400 m2.此时AODO10 m.故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.