1、课时提升作业(四十一)一、选择题1.(2013北海模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,过焦点的弦PQ的长为8,则PQ的中点M到抛物线准线的距离为()(A)4(B)5(C)6(D)82.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值等于()(A)0(B)2(C)4(D)-23.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为()(A)(B)(C)(D)4.已知任意kR,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,5)(C
2、)1,5)(5,+)(D)1,5)5.(2013玉林模拟)设点P是双曲线-=1(a0,b0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)6.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()(A)3(B)4(C)3(D)4二、填空题7.已知椭圆+=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为.8.(2013柳州模拟)设双曲线-y2=1(a0)与直线x-y=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则双曲线的离心率e=.9
3、.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得PAB的面积为的点P的个数为.三、解答题10.(2013玉林模拟)设双曲线C的焦点在y轴上,离心率为,其一个顶点的坐标是(0,1).(1)求双曲线C的标准方程.(2)若直线l与该双曲线交于A,B两点,且A,B的中点为(2,3),求直线l的方程.11.(能力挑战题)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.12.(能力挑战题)椭圆C
4、1:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若SACD=SPCD.(1)求P点的坐标.(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.答案解析1.【解析】选A.结合抛物线定义可知弦PQ的中点到准线的距离等于P,Q两点到准线距离和的一半,PQ的中点M到抛物线准线的距离等于弦PQ长的一半即为4.2.【思路点拨】数形结合利用椭圆的几何性质确定最值情况求解.【解析】选D.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,此时F1(-,0),F2(,0
5、),不妨设P(0,1),=(-,-1),=(,-1),=-2.3.【解析】选D.由题意知焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0,故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,又由=-4可得y1=-4y2,联立式解得k=.4.【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m1,又因为椭圆+=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).【误区警示】本题易误选D,根本原因是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1m5,而忽视其焦点可
6、能在y轴上.5.【解析】选A.由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,|PF1|=2|PF2|,得|PF1|=,|PF2|=,2a=c,e=.6.【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中点M(-,-+b),又M(-,-+b)在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=3.7.【解析】椭圆+=1的右顶点为A(1,0),b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即1=2|x|=2b=,a=2,则椭
7、圆方程为+x2=1.答案:+x2=18.【解析】联立直线与双曲线方程易解得A点(在右支上的交点)的坐标(x1,y1)满足:=,由题意可得OA=2=8,解得a2=,故c2=,故e=.答案:9.【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使PAB的面积为,即h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令=0得m=2,即平移直线l到y=-2x2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符
8、合要求.答案:410.【解析】(1)由已知得a=1,=,又c2=a2+b2,c=,b=1,双曲线C的标准方程为y2-x2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则化简得:6(y1-y2)-4(x1-x2)=0,=,直线l的方程为2x-3y+5=0.11.【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,当x0时,y2=4x;当x0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x0)和y=0(x0,y=b,得P(2a,b).(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).代入椭圆方程:b2x2+a2(x2-2ax+a2)=a2b2,4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.xa,x=,从而y=(-)=-b,得D(,-b).同理可得C(,b).C,D横坐标相同,知CDx轴.若CD过椭圆右焦点F2(c,0),c=,即a=2c,从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c,则c2=a2+b2=a2,e=.于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e=.