1、专题检测（十七） 圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题大题专攻强化练1(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.连接MA，由已知得|AO|2.又，故可得2a24(a2)2， 解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|M
2、A|MP|为定值理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.2(2019武汉部分学校调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8，0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OPQ面积的最大值解：(1)设T(x，y
3、)(x4)，则直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2.于是由k1k2，得，整理得1(x4)，故椭圆C的方程为1.(2)由题意设直线PQ的方程为xmy8，由得(3m24)y248my1440，(48m)24144(3m24)1248(m24)0，即m24，yPyQ，yPyQ.|PQ|，点O到直线PQ的距离d .故SOPQ|PQ|d4，故OPQ面积的最大值为4.3(2019湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设
4、直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e得a2c.由|BF|BA|2，得a2，ab2.a2b2c2，由可得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由得(34k2)x216kx40，可知0，k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)菱形的对角线互相垂直，()0，(1k2)(x1x2)4k2m0，得m，即m，k，m0.存在满足条件
5、的实数m，m的取值范围为.4(2019郑州市第二次质量预测)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2的周长为42，且面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OP|的取值范围解：(1)由椭圆的定义及AF1F2的周长为42，可得2(ac)42，ac2.当A在上(或下)顶点时，AF1F2的面积取得最大值，即bc，由及a2c2b2，得a2，b1，c，椭圆C的方程为y21.(2)当直线AB的斜率不存在时，k1k2，k1k2，k1，不妨取k1，则直线OA的方程为yx，不妨取点A，则B，P(，0)，|OP|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.k1k2，4y1y2x1x20，4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2(满足式)，m2.设P(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|OP|2xy2，|OP|.综上，|OP|的取值范围为.