1、两向量平行的条件(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0，则 ab_.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果向量 b 不平行于坐标轴，即 x20，y20，则 ab_.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是_x1y2x2y10 x1x2y1y2相应坐标成比例状元随笔 已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当 b0 时，a b.这是几何运算，体现了向量 a与 b的长度及方向之间的关系(2)x1y2x2y10.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征(3)当 x2y20 时，x1
2、x2y1y2，即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)设 a(x1y1)，b(x2，y2)，则 ab 等价于x1x2y1y2.()(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线()(3)向量(2,3)与向量(4，6)反向()2下列各组向量相互平行的是()Aa(1,2)，b(3,5)Ba(1,2)，b(2,1)Ca(2，1)，b(3,4)Da(2,1)，b(4，2)解析：D 中，b2a.答案：D3已知 a(6,2)，b(m，3)，且 ab，则 m()A9 B9C3 D3解析：因为 a(6,2
3、)，b(m，3)，若 ab，则6(3)2m0，解得 m9.答案：B4已知 A(1,2)，B(4,5)若AP2PB，则点 P 的坐标为_解析：设 P(x，y)，所以AP(x1，y2)，PB(4x,5y)，又AP2PB，所以(x1，y2)2(4x,5y)，即x124x，y225y，解得x3，y4.答案：(3,4)类型一 向量共线的判定例 1(1)下列各对向量中，共线的是()A.a(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(2，1)，b(1，2)Da(1，2)，b(2，2)(2)已知点 A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线 AB 与直线 C
4、D 平行吗？【解析】(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量 a 与 b 共线，当且仅当存在唯一实数，使得 ba.而只有 D 满足：因为 a(1，2)，b(2，2)，所以 b 2a.(2)因为AB(1(1)，3(1)(2,4)，CD(21,75)(1,2)，因为 22140，所以ABCD.又AC(1(1)，5(1)(2,6)，AB(2,4)，24260，所以AC与AB不平行所以 A，B，C 不共线，AB 与 CD 不重合所以直线 AB 与 CD 平行【答案】(1)D(2)见解析(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或 b a验证(2)判断AB CD，只要把点的坐标代入公式 x1y2x2y1
5、0，看是否成立方法归纳 向量共线的判定方法跟踪训练 1 下列各组向量中，共线的是()A.a(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)解析：由两向量共线的坐标表示知，对于 D，(3)(4)260，所以共线，其他均不满足答案：Da(x1，y1)，b(x2，y2)，若 x1y2x2y10，则 a，b共线类型二 三点共线问题例 2 设向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，求当 k 为何值时，A，B，C 三点共线【解析】方法一 A，B，C 三点共线，存在实数，使得ABAC.ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(1
6、0k，k12)，(4k，7)(10k，k12)，即4k10k，7k12，解得 k2 或 k11.方法二 由题意知AB，AC共线ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，解得 k2 或 k11.方法一由已知求AB、AC，利用AB AC，求 k.方法二AB 与AC 共线，则 x1y2x2y10，求 k.方法归纳 判断向量(或三点)共线的三个步骤跟踪训练 2 已知OA(3,4)，OB(7,12)，OC(9,16)，求证点 A，B，C 共线证明：由题意知ABOB OA(4,8)，ACOC OA(6,12)，所以AC32AB，即AB与
7、AC共线又因为AB与AC有公共点 A，所以点 A，B，C 共线由已知求AB、AC，若AB AC，则 A、B、C 共线类型三 向量共线的应用例 3 如图所示，已知AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC14OA，OD 12OB，AD 与 BC 相交于点 M，求点 M 的坐标 【解析】OC 14OA 14(0,5)0，54，C(0，54)OD 12OB 12(4,3)2，32，D2，32.设 M(x，y)，则AM(x，y5)，AD 20，325 2，72.AM AD，72x2(y5)0，即 7x4y20.又CM x，y54，CB4，74，CM CB，74x4y54 0，即 7x16y20.联立解得 x127，y2，故点 M 的坐标为127，2.先求 C、D 坐标，设出 M(x，y)，利用AM 与AD 共线，求 M.方法归纳应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟踪训练 3 若平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(1,5)，B(1，2)，C(3，1)，求顶点 D 的坐标解析：设 D 点的坐标为(x，y)，则AD(x1，y5)，BC(4,1)，由题意知AD BC，即(x1，y5)(4,1)，得x14，y51，解得x5，y6.因此，D 点的坐标为(5,6).设 D(x，y)，由已知得AD BC，求 D.