1、3.1数系的扩充学 习 目 标核 心 素 养1.理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)2利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)3实部、虚部的概念(易混点)通过对复数的学习，培养数学抽象素养.1复数的相关概念(1)虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：i21；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立(2)复数、复数集形如abi(a，bR)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.复数zabi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部2复数的分类与复数相等(1)复数的分类复数zabi(a，bR)，当且仅
2、当b0时，z是实数；当b0时，z叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？提示1复数i2的虚部是()AiB2C1D2Ci22i，因此虚部是1.2如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0A(xy)ix1，x1，y1.3若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_(填序号)当a1时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对
3、；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错4若xii2y2i，x，yR，则复数xyi_.2i由i21得xii21xi，即1xiy2i，根据两个复数相等的充要条件得故xyi2i.复数的相关概念【例1】(1)复数z43i的实部和虚部分别是_和_(2)复数z(m23m2)(m2m2)i，当实数m为何值时，z为实数；z为虚数；z为纯虚数(3)当实数m为何值时，复数z(m22m)i为：实数；虚数；纯虚数(1)43由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和3.(2)解当m2m20，即m2或m1时，z为实数当m2m20，即m2且m1时，z为虚数当即m2时，z为纯虚数(3)解
4、即m2，当m2时，复数z是实数当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数由解得m3，当m3时，复数z是纯虚数判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部1下列命题中是假命题的是_(填序号)自然数集是非负整数集实数集与复数集的交集为实数集实数集与虚数集的交集是0纯虚数集与实数集的交集为空集复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集
5、与虚数集没有公共元素，是假命题复数的分类及应用【例2】(1)复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是_(2)已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，z为实数；z为虚数；z为纯虚数(1)a0且ab要使复数z为纯虚数，则a0，ab.(2)解要使z为实数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件
6、是a0且b0.2若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？解复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，所以a0.复数相等的充要条件探究问题1由32能否推出3i2i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由32不能推出3i2i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小2若复数zabi0，则实数a，b满足什么条件？提示：若复数zabi0，则实数a，b满足a0，且b0. 【例3】(1) 若复数z(m1)(m2 9)i0，则实数m的值等于_ (2)已知关于x的方程x2(12i)x(3mi)0有实数根，求实数m的值思路探究(1)等价转化为虚
7、部为零，且实部小于零；(2)根据复数相等的充要条件求解(1)3z0，求实数m的取值范围解由题意可知，x2(12i)x(3mi) x2x3m(2x1)i0，故 解得所以实数m的取值范围为.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数1本节课的重点是理解复数的概念、复数的分类及数集间的关系2本节课的易错点是对两个虚数进行大小比较，只有当两个复数是实数时，才能比较大小.1判断(正确的打“
8、”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)2若复数z(m2)(m29)i(mR)是正实数，则实数m的值为()A2B3C3D3B由题知解得m3.故选B.3已知z1m23mmi，z24(5m4)i，其中mR，i为虚数单位，若z1z2，则m的值为_1由题意得m23mmi4(5m4)i，从而解得m1.4已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MN，求整数a，b.解依题意得(a3)(b21)i3i， 或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i. 由得a3，b2，由得a3，b2.中，a，b无整数解不符合题意综上所述得a3，b2或a3，b2或a3，b2.