1、推理证明、复数、算法框图【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义2.会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异6.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点7.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点(理科)8.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单
2、的数学命题9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环10.理解几种基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面：1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。 2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理
3、、归纳等能力。【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式（大前提、小前提、结论）.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。证明时，特别注意第二步，要弄清式子的构成规律，充分利用题目中的条件和假设，适当变形。4.复数:掌握复数的分类、复数相等、模、几何意义、复数的四则运算。【考点在线】考点一 推理例1. (2011年高考江西卷理科7
4、)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为( ) A3125 B5625 C0625 D8125【答案】D【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确, 所以选D.【名师点睛】本题考查合情推理中的归纳推理.【备考提示】：推理分为合情推理与演绎推理,都是高考的重点内容之一,必须熟练其模式.练习1:(2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.考点二 间接证明与直接证明例2. (2011年高
5、考安徽卷理科19)（）设证明，（），证明.【证明】()由于，所以要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：由于，上式显然成立，所以原命题成立。（）设，由换底公式得，故要证：只要证明：，其中，由()知所要证明的不等式成立。【名师点睛】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力,用的分析法证明的。第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。 【备考提示】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变
6、形是处理这类问题的关键。练习2:(2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,.【解析】（1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述(理科)考点三 数学归纳法例3.(2011年高考湖南卷理科22)已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有【解析】由知，而且，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.当时
7、，显然成立，假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立（2）当时，由知在上单调递增，则，即，从而，即.由此猜测：，下面用数学归纳法证明. 当时，显然成立，假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立综上所述，存在常数使得对于任意的都有【名师点睛】本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.【备考提示】：数学归纳法是理科考查的内容之一，要熟练其证明模式，特别是在步骤以及容易出错的地方加以注意。练习3：（2010年高考江苏卷试题23）已知ABC的三边长都是有理
8、数。（1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。【解析】（方法一）（1）证明：设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。当时，由（1）知
9、是有理数，从而有也是有理数。假设当时，和都是有理数。当时，由，及和归纳假设，知和都是有理数。即当时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。考点四 复数例4. (2011年高考安徽卷理科1)设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为( ) （A）2 (B) 2 (C) (D) 【答案】A.【解析】设，则，所以.故选A.【名师点睛】本题考查复数的基本运算，属简单题.【备考提示】：复数是高考的热点内容，年年必考，以选择或填空题的形式出现，主要考查复数的概念、复数相等、几何意义以及复数的四则运算，熟练基础知识是解决本类问题的关键.练习4：(2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚
10、数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ）（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】D【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.考点五 算法框图例5. (2011年高考全国新课标卷理科3)执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（ ）A 120 B 720 C 1440 D5040【答案】B【解析】按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：，此时，按终止条件结束，输出。【名师点睛】本题考查算法的程序化思想、算法框图的结构、功能、逻辑思维能力和运算能力。注意理解和把握。【备考提示】：框图仍然是高考的一个热点，在高考中，一个般一个选择或填空题，难
11、度不大，大多与数列或不等式等知识结合起来命题，故熟练其基础知识是解决本类问题的关键.练习5：(2011年高考辽宁卷理科6)执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（ ）(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2【答案】C【解析】第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2; 第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4.【考题回放】1. (2011年高考天津卷理科1) 是虚数单位，复数=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，故选A.2.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若
12、，为虚数单位，则=（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】 A【解析】 故选A3(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ） A1+i B1-i C2+2i D2-2i【答案】B【解析】由题得所以选B. 4.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）（A）2 （B） (C) (D)1【答案】B【解析】,a0,故a=.5. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）A B C D;【答案】C【解析】因为=，所以，共轭复数为，选C。6.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数（ ）A. B. C. D. 【答
13、案】D【解析】因为=，所以复数,选D.7(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=（ ）A.iB.1C.iD.1【答案】A【解析】因为,故所以选A.8(2011年高考陕西卷理科7)设集合，则为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：由即由得即故选C。9.(2011年高考重庆卷理科1)复数（ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】B【解析】 。10(2011年高考四川卷理科2)复数=( )(A) （B） （C）0 （D）【答案】A【解析】11.(2011年高考全国卷理科1)复数，为的共轭复数，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，-=1+1-1-1=
14、 ，故选B12.(2011年高考陕西卷理科8)右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，时等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】：,由得，故选C。13. (2011年高考江西卷理科13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 。【答案】10【解析】当n=1时,计算出的;当n=2时,计算出的;当n=3时,计算出的;当n=4时,计算出的,此时输出s=10.14(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式照此规律，第个等式为 【答案】【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即15.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标
15、系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】【解析】正确，令满足；错误，若，过整点（1,0）；正确，设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立；错误，当与都是有理数时，令显然不过任何整点；正确. 如：直线恰过一个整点16. (2011年高考湖南卷理
16、科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1） ；（2） .【答案】2; 1093【解析】（1）由题意知，所以2；（2）通过例举可知：，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而.17.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】（）由得，前项为，（）18(2011年高考北京卷理科20)若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列
17、，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。【解析】（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,
18、即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得【高考冲策演练】一、选择题：1.（2010年高考山东卷理科2）已知（a,bR），其中i为虚数单位，则a+b=（ ）(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知:,所以1,故选B.2（ 2010年高考全国卷I理科1）复数（ ）(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13【答案】A【解析】.3（2010年高考福建卷理科9）对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】由题意，可取，所以，选B。4（2010年高考安
19、徽卷理科1）是虚数单位， （ ）A、B、C、D、【答案】B【解析】，选B.5.(2010年高考天津卷理科1)i是虚数单位，复数=（ ）（A）1+i （B）5+5i （C）-5-5i （D）-1-i【答案】A【解析】，故选A。6（2010年高考广东卷理科2）若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=（ ）A4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3【答案】A【解析】。7（2010年高考四川卷理科1）i是虚数单位，计算ii2i3（ ）（A）1 （B）1 （C） （D）【答案】A【解析】由复数性质知：i21，故ii2i3i(1)(i)1。8. (2010年全国高考宁夏卷2）已知复数，是
20、z的共轭复数，则=（ ）A. B. C.1 D.2【答案】A 【解析】，所以9（2009年高考浙江卷理科第6题）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 w.w.w.c.o.m 【答案】A 【解析】对于，而对于，则，后面是，不符合条件时输出的10. （2009年高考福建卷理科第6题）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A2 B .4 C. 8 D .16 【答案】：C【解析】由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=24=8. 故选C11（2009年高考天津卷理科第5题）阅读右图的程序框图，则输出的S=（ ）
21、 A 26 B 35 C 40 D 57【答案】C12(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科)若将复数表示为（，是虚数单位）的形式，则 （ ） A B C D【答案】C【解析】，则二填空题：13（2010年高考北京卷理科9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。【答案】（-1，1）【解析】因为=，故复数对应的点的坐标为（-1，1）。14（2010年高考上海市理科2）若复数（为虚数单位），则 。【答案】6-2i【解析】因为,所以6-2i.15.(2010年高考重庆市理科11) 已知复数，则_【答案】-2i【解析】.16(2011年高考安徽卷江苏4)根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时
22、，最后输出的m的值是_。Read a，bIf ab Then maElse mbEnd IfPrint m 【答案】3【解析】因为输入分别为2，3,所以ab,故m=3.三解答题：17(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。【解析】 （4分）设，则，（12分） ， （12分）18. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程.【解析】因为 ，得 ，所以 . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， 因为，故所求的一个一元二次方程可以是.19. (北京市西城区2011年
23、高三一模试题文科)将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.定义为排列的波动强度.（）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；（）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；（）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.【解析】（）时，排列的所有可能为；.2分；. 4分（）上式转化为，在上述个中，有个选正号，个选负号，其中出现一次，各出现两次. 6分所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式，若使最大，应使第一个和最大，第二个和最
24、小.所以最大为：. 8分所对应的一个排列为：.（其他正确的排列同等给分） 9分（）不可以.例如排列，除调整外，其它调整都将使波动强度增加，调整波动强度不变. 11分所以只能将排列调整为排列.对于排列，仍然是除调整外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为. 13分20(北京市怀柔区2011年3月高三第二学期适应性练习理科)已知集合，其中，表示和中所有不同值的个数（）设集合，分别求和；（）若集合，求证：； （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【解析】（）由 得. 由 得.-5分（）证明：因为最多有个
25、值，所以又集合，任取当时,不妨设，则，即.当时，.因此，当且仅当时， .即所有的值两两不同，所以 -9分 （） 存在最小值，且最小值为不妨设可得所以中至少有个不同的数，即事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，当时，；当时，；因此每个和等于中的一个，或者等于中的一个.所以对这样的,所以的最小值为. -13分21. (安徽省2011年2月皖北高三大联考理科)数列各项均为正数，为其前n项的和，对于n，总有，成等差数列。（1） 数列的通项公式；（2） 设数列的前n项的和为，数列的前n项的和为，求证：当n2时， （3） 设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式a对一切n都成立？若存在，求
26、出a的取值范围，若不存在，请说明理由。【解析】（1）由已知有. 当时， 两式相减有：， 即.又当时，所以 （2）由（1）得，. 当时， 故当时命题成立. 假设时成立， 即，则当时 ， ， 说明当时命题也成立. （3）据已知，则： 故单调递减 ，于是 要使不等式对一切都成立只需即可。22(湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考理科)在数列 （I）若是公比为的等比数列，求和的值。 （II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。【解析】（I）是公比的的等比数列2分即又4分、是方程的两根或6分（II）假设存在正整数，使得与有大于1的公约数，则也是即的约数依题设，是的约数8分从而是与的公约数同理可得是的约数依次类推，是与的约数10分，故于是 12分又是的约数和的约数是即的约数从而是即1的约数，这与矛盾故不存在使与有大于1的公约数.