1、专题检测（二十一） 函数、导数与不等式大题专攻强化练1(2019贵州省适应性考试)函数f(x)xln x，g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a时，xf(x)g(x)解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)xln x，得f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)(2)证明：要证xf(x)g(x)，即证x(xln x)aex，即证a.设h(x)，则h(x)，由(1)可知f(x)f(1)1，即ln x(x1)0，于是，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1
2、，)时，h(x)0，h(x)单调递减所以x1时，h(x)取得最大值，h(x)max，所以当a时，xf(x)g(x)2(2019北京高考)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2，4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2，4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解：(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2，4由g(x)x3x
3、2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.3设函数f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)m1成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2mx，当m0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时
4、，令f(x)0，得0x，令f(x)，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减f(x)maxf2lnm1ln m，若存在x0，使得f(x0)m1成立，则f(x)maxm1.即ln mm1，ln mm10)，g(x)10，g(x)在(0，)上单调递增，且g(1)0，0m1.实数m的取值范围是(0，1)4(2019武汉市调研测试)已知函数f(x)(x1)ln xax(aR)(1)在a0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)0在(0，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)a0时，f(x)(x1)ln x，f(x)ln x(
5、x1)ln x1，设g(x)ln x1，则g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，而g(1)0，x(0，1)时，g(x)0，即f(x)0，x(1，)时，g(x)0，即f(x)0，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)(2)由(x1)ln xax0，得ax(x1)ln x，而x0，aln x.记h(x)ln x，则h(x)，设m(x)ln xx1(x0)，显然m(x)在(0，)上单调递增，而m(1)0，x(0，1)时，m(x)0，h(x)0，h(x)单调递减，x(1，)时，m(x)0，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)minh(1)0.a0，a0，即实数a的取值范围是(0，)
