1、第十四章导数综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1已知某函数的导数为y，则这个函数可能是()AylnBylnCyln(1x) Dyln答案：A解析：对选项求导(ln)()(1x)(1).故选A.2(2009江西)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4BC2D答案：A解析：f (x)g(x)2x.y
2、g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)2，f (1)g(1)21224，yf(x)在点(1，f(1)处切线斜率为4.3(2009辽宁)曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2 By3x2Cy2x3 Dy2x1答案：D解析：y()，ky|x12.l：y12(x1)，则y2x1.故选D.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.e2 B2e2 Ce2 D.答案：D解析：yex，yex在点(2，e2)的导数为e2.yex在点(2，e2)的切线方程为ye2xe2.ye2xe2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，e2)，S1e2.故选D.5已
3、知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案：D解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当xx0时，由图象知f (x)g(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当xx0时，f (x)g(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D.6设y8x2lnx，则此函数在区间(0，)和(，1)内分别()A单调递增，单调递减B单调递增，单调递增C单调递减，单调递增D单调递减，单调递减答案：C解析：y16x.当x(0，)时，y0，y8x2lnx为减函数；当x(，1)时，y0，y8x2lnx为增函数7下列关于函数f(x)(
4、2xx2)ex的判断正确的是()f(x)0的解集是x|0x2；f()是极小值，f()是极大值；f(x)没有最小值，也没有最大值A BC D答案：D解析：由f(x)0(2xx2)ex02xx200x2，故正确；f (x)ex(2x2)，由f (x)0得x，由f (x)0得x或x，由f (x)0得x，f(x)的单调减区间为(，)，(，)单调增区间为(，)f(x)的极大值为f()，极小值为f()，故正确x时，f(x)0恒成立f(x)无最小值，但有最大值f()不正确8已知f(x)x3x，xm，n，且f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间m，n上()A至少有三个实根 B至少有两个实根C有且只有一个实
5、根 D无实根答案：C9已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B3a6Ca3或a6 Da1或a2答案：C解析：由于f(x)x3ax2(a6)x1，有f (x)3x22ax(a6)若f(x)有极大值和极小值，则4a212(a6)0，从而有a6或a3，故选C.10要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为()A.cm B100cmC20cm D.cm答案：A解析：设高为h，则半径为，体积Vr2h(202h2)hh3h(0h20)，Vh2.令V0，得h或h(舍去)，即当h时，V为最大值11(2010河南省实验中学)若函数f(x)
6、的图象如图所示，则m的范围为 ()A(，1) B(1,2)C(1,2) D(0,2)答案：C解析：f (x)由图知m20，且m0，故0m2，又1，m1，因此1m2，选C.12定义在R上的函数f(x)满足f(4)1.f (x)为f(x)的导函数，已知函数yf (x)的图象如图所示若两正数a，b满足f(2ab)1，则的取值范围是()A(，)B(，)(3，)C(，3)D(，3)答案：C解析：由yf (x)的图象知，当x0时，f (x)0，函数f(x)是减函数；当x0时，f (x)0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2ab)1，f(4)1，点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，的
7、意义为阴影部分的点与点A(2，2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为、3，则的取值范围是(，3)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009武汉模拟)函数yxln(x)1的单调减区间是_答案：(，0)14已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.答案：32解析：令f (x)3x2120，得x2或x2，列表得：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f (x)00f(x)17极值24极值81可知M24，m8，Mm32.15(2009南京一调)已知函数f(x)axx4，x，1，A、B是其图象上不同
8、的两点若直线AB的斜率k总满足k4，则实数a的值是_答案：解析：f (x)a4x3，x，1，由题意得a4x34，即4x3a4x34在x，1上恒成立，求得a，则实数a的值是.16(2009淮北模拟)已知函数f(x)的导数f (x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_答案：(1,0)解析：结合二次函数图象知，当a0或a1时，在xa处取得极小值，当1a0时，在xa处取得极大值，故a(1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)ln(xa)(1)当a，求函数f(x)的极大
9、值和极小值；(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围解析：(1)当a时，f (x)，令f (x)0，则x20，x或，当x0，时，f (x)0，当x(，)，f (x)0，f(x)极大值f()，f(x)极小值f()ln3.(2)f (x)，若f(x)为增函数，则当x0，)时，f (x)0恒成立，即xa2，即a2x(1)21恒成立，a1.18(本小题满分12分)已知函数yf(x).(1)求函数yf(x)的图象在x处的切线方程；(2)求yf(x)的最大值；(3)设实数a0，求函数F(x)af(x)在a,2a上的最小值解析：(1)f(x)定义域为(0，)，f (x)f()e，又kf ()2e2，函
10、数yf(x)的在x处的切线方程为：ye2e2(x)，即y2e2x3e.(2)令f (x)0得xe.当x(0，e)时，f (x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，当x(e，)时，f (x)0，则在(e，)上为减函数，fmax(x)f(e).(3)a0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减F(x)在a,2a上的最小值f(x)minminF(a)，F(2a)，F(a)F(2a)ln，当0a2时，F(a)F(2a)0，fmin(x)F(a)lna.当a2时，F(a)F(2a)0，f(x)minf(2a)ln2a.19(本小题满分12分)设a0，函数f(x)xaa.(1)若
11、f(x)在区间(0,1上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1上的最大值解析：(1)对函数f(x)求导数，得f (x)1 .要使f(x)在区间(0,1上是增函数，又要f (x)10在(0,1上恒成立，即a在(0,1上恒成立因为在(0,1上单调递减，所以在(0,1上的最小值是.注意到a0，所以a的取值范围是(0，(2)当0a时，由(1)知，f(x)在(0,1上是增函数，此时f(x)在区间(0,1上的最大值是f(1)1(1)a.当a时，令f (x)10，解得x(0,1)因为当0x时，f (x)0；当x1时，f (x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减此时f
12、(x)在区间(0,1上的最大值是f()a.综上所述，当0a时，f(x)在区间(0,1上的最大值是1(1)a；当a时，f(x)在区间(0,1上的最大值是a.20(本小题满分12分)已知函数f(x).(x0)(1)函数f(x)在区间(0，)上是增函数还是减函数？证明你的结论；(2)若当x0时，f(x)恒成立，求正整数k的最大值解析：(1)f (x)1ln(x1)ln(x1)由x0，x20，0，ln(x1)0，得f (x)0.因此函数f(x)在区间(0，)上是减函数(2)解法一：当x0时，f(x)恒成立，令x1有k21ln2又k为正整数则k的最大值不大于3.下面证明当k3时，f(x)(x0)恒成立即
13、证明x0时(x1)ln(x1)12x0恒成立令g(x)(x1)ln(x1)12x，则g(x)ln(x1)1.当xe1时，g(x)0；当0xe1时，g(x)0.当xe1时，g(x)取得最小值g(e1)3e0.当x0时，(x1)ln(x1)12x0恒成立因此正整数k的最大值为3.解法二：当x0时，f(x)恒成立即h(x)k对x0恒成立即h(x)(x0)的最小值大于k.由h(x)，记(x)x1ln(x1)(x0)则(x)0，(x)在(0，)上连续递增又(2)1ln30，(3)22ln20，(x)0存在惟一实根a，且满足：a(2,3)，a1ln(a1)，由xa时，(x)0，h(x)0；0xa时，(x)
14、0，h(x)0知：h(x)(x0)的最小值为h(a)a1(3,4)因此正整数k的最大值为3.21(2009天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法解析：(1)当a0时，f(x)x2ex，f (x)(x22x)ex，故f (1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f (x)x2(a2
15、)x2a24aex.令f (x)0，解得x2a，或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论若a，则2aa2，当x变化时，f (x)、 f(x)的变化情况如下表：x(2a)，2 a(2a，a2)a2(a2，)f (x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a，则2aa2.当x变化时，f (x)、 f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f (x)00f(x)极大
16、值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.22(2010保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)1(aR)(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)0在区间(0，e2上恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，导函数f (x)，kf (1)1a，又f(1)a1，即切点坐标为(1，a1)，所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为：y(a1)(1a)(x1)，即y(1a)x2(a1)(2) 结合(1)，令f (x)0得xe1a，由对数函数的单调性知：当x(0，e1a)时，f (x)0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f (x)0，f(x)是减函数()当e1ae2时，a1时，f(x)maxf(e1a)ea11，令ea110，解得a1，即1a1，()当e1ae2即a1时，f(x)在(0，e2上是增函数，f(x)在(0，e2上的最大值为f(e2)1，令10，解得ae22，即a1，综上可知，实数a的取值范围是a1.
