1、1.周期函数(1)周期函数.对于函数 f(x)，存在一个_常数 T条件当 x 取定义域内的每一个值时，都有_ 结论函数 f(x)叫做_，_叫做这个函数的_(2)最小正周期.条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_结论这个最小_叫做 f(x)的最小正周期非零f(xT)f(x)周期函数非零常数 T周期正数正数状元随笔 关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数 f(x)C，对于任意非零常数 T，都有 f(xT)f(x)，即任意常数 T 都是函数的周期，因此没有最小正周期(2)对于函数 yAsin(x)B，yAcos(x)B，可以利用公式 T2|求最小正周期2正弦函数
2、、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ 且 k0)2k(kZ 且 k0)最小正周期2_奇偶性_2奇函数偶函数状元随笔 关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果存在常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为 T.()(2)如果存在非零常数 T，使
3、得定义域内存在一个值 x，有 f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为 T.()(3)函数 ysin x，x(，是奇函数()2下列函数中，周期为2的是()Aysinx2 Bysin 2xCycosx4 Dycos 4x解析：对于 A，T2124，对于 B，T22，对于 C，T2148，对于 D，T24 2.答案：D3函数 f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：由于 xR，且 f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故选 A.答案：A4下列函数中是偶函数的是()Aysin 2x Bysin xCysin|x|Dysin
4、 x1解析：A、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合 f(x)sin|x|sin|x|f(x)，ysin|x|是偶函数答案：C类型一 求三角函数的周期例 1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y|cos x|Bycos|x|Cy|sin x|Dysin|x|(2)函数 y2sinx36 的周期为_【解析】(1)画出 ysin|x|的图象，易知 ysin|x|不是周期函数(2)方法一 因为 2sinx362 2sinx36，即 2sin13x66 2sinx36.所以 y2sinx36 的最小正周期是 6.方法二 函数的周期 T2|2136.【答案】(1)D(2)6(1)作出函数的图
5、象，根据周期的定义判断(2)利用周期的定义，需要满足 f(xT)f(x)；也可利用公式 T2|计算周期方法归纳 求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(xT)f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形如 yAsin(x)和 yAcos(x)(其中 A，是常数，且 A0)，可利用 T2|来求(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法跟踪训练 1 求下列函数的周期(1)y2sin 2x；(2)ycos12x6.解析：(1)方法一 因为 2sin(2x2)2sin 2x，即 2sin
6、 2(x)2sin 2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为.方法二 T22.(2)方 法 一 因 为cos 12x6 2 cos 12x6，即cos12x46 cos12x6.由周期函数的定义，可知原函数的周期为 4.方法二 T2124(1)利用周期的定义求函数周期(2)利用公式 T2|求函数周期类型二 正、余弦函数的奇偶性问题例 2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos2x52；(2)f(x)sin(cos x)【解析】(1)函数的定义域为 R.且 f(x)cos22x sin 2x.因为 f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以函数 f(x)cos2x52 是奇函数(2)函
7、数的定义域为 R.且 f(x)sincos(x)sin(cos x)f(x)，所以函数 f(x)sin(cos x)是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性方法归纳 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数 f(x)的定义域不关于原点对称，无论 f(x)与 f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x)1cos x cos x1.解析：(1)函数的定义域为 R，又 f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以 f(x)是偶函数(2)由 1cos x0 且 c
8、os x10，得 cos x1，从而 x2k，kZ，此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数(1)利用定义法判断函数的奇偶性(2)由偶次根式被开方数大于等于 0 求出 cos x 的值以及 x 的值，最后判断函数的奇偶性类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是，且当 x0，2 时，f(x)sin x，求 f53 的值【解析】因为 f(x)的最小正周期是，所以 f53 f53 2 f3，因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f3 f3 sin3 32.利用周期性f53 f 532 f3，再利用奇偶性 f3 f3，最后代入求值方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，再利用公式求解(2)判断函数 yAsin(x)或 yAcos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 yAsin x(A0)或 yAcos x(A0)其中的一个跟踪训练 3 若本例中函数的最小正周期变为2，其他条件不变，求 f176 的值解析：因为 f(x)的最小正周期是2，所以 f176 f36 f626 f6 sin612 利用周期性 f176 f36 f6 代入求值