1、山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期3月摸底试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式，化简集合，根据交集定义即可求解.【详解】因为，所以.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.2.已知复数，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模.【详解】解：因为，所以.故选：【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题.3.已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】
2、【分析】根据向量在方向上的投影，带入数值即可.【详解】向量在方向上的投影.故选：B【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.4.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出，坐标，利用点在椭圆上，通过平方差公式，结合中点坐标，求出直线的斜率，然后求解直线方程【详解】解：设弦的两端点为，为中点，在椭圆上，两式相减得：，可得：，则，且过点，有，整理得故选：C【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题5.已知函数，若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D
3、. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，证明是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数相关形式，利用的性质，解出不等式，得到答案.【详解】因为设，定义域，所以为奇函数，所以单调递增，不等式解得故选C项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.6.已知命题：，命题：，使，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，所以命题是假命题，因为当时，所以命题是真命题，所以是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选C考点：1、全称命题和特称命题的真假性；2、复合命题的真假性7.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（
4、每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若按照顺时针跳的概率为，则按逆时针方向跳的概率为，可得，解得，即按照顺时针跳的概率为，按逆时针方向跳的概率为，若青蛙在叶上，则跳次之后停在叶上，则满足次逆时针或者次顺时针.若先按逆时针开始从，则对应的概率为；若先按顺时针开始从，则对应的概率为，则概率为，故选A.8.庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S（，）
5、，则输入的n的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S（，）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值【详解】框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S，k1+12；判断2n不成立，执行循环体，S，k2+13；判断3n不成立，执行循环体，S，k3+14；判断4n不成立，执行循环体，S，k4+15判断5n不成立，执行循环体，S，k4+16判断6n不成立，执行循环体，S，k4+17由于输出的S（，），可得：当S，k6时，应该满足条件6n，即：5n6，可得输入
6、的正整数n的值为5故选：C【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，属于基础题9.函数在的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，故排除、,故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.10.如图，在长方体中，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先做出与所成角的角下图中的，设用
7、表示，然后用余弦定理求出，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连与交于点,则为中点，取中点，连，则为异面直线与所成角,设则，在中，由余弦定理得，解得，所以长方体的对角线长为所以长方体的外接球的半径为，所以长方体外接球的表面积为.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.11.若，当x0，1时，f（x）x，若在区间（1，1内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据当x0，1时，f（x）x，当x（1，0）时，x+1（0，1），得到f（x）
8、，故f（x），题目问题转化为函数yf（x）与函数ym（x）在区间（1，1内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m的取值范围【详解】根据题意，又当x0，1时，f（x）x，故当x（1，0）时，x+1（0，1），则f（x）+1，所以f（x），故f（x），因为在区间（1，1内有两个零点，所以方程f（x）m（x）在区间（1，1内有两个根，所以函数yf（x）与函数ym（x）在区间（1，1内有两个交点，而函数ym（x）恒过定点（，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当ym（x）过点（1，1）时，斜率m，当ym（x）过点（1，0）时，斜率m0，由图象可
9、知，当0m时，两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，属于中档题12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1x2，则有（）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】求导f（x）xaex，将问题转化为有两根为x1，x2，设，利用导数法研究其图象利用数形结合法求解.【详解】依题意：f（x）xaex，则f（x）0的两根为x1，x2，即的两根为x1，x2，设，则，令g（x）0，解得x1，g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数g（x）的图象如下， 由图可知，0x11，x21，当x（，x1）（x
10、2，+）时，则f（x）0，f（x）单调递减，当x（x1，x2）时，则f（x）0，f（x）单调递增，f（x）极小值，又x1（0，1），故，f（x）极大值，又x2（1，+），故故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知实数满足，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系，平移直线，易知当直线经过点时，直线的纵截距最小，目标函数取得最小值，且.故答案为：-8
11、【点睛】本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.14.在区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m=_【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间2，4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3故答案为315.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA，ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab_【答案】【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2c2ab，利用余弦定理可求cosC，可求角C，进而由题意，利用三角形的面积公
12、式，基本不等式即可求解【详解】（a+b）sinBcsinCasinA，（a+b）bc2a2，可得a2+b2c2ab，cosC，C（0，），C，ABC的面积记为S，2，当且仅当S，即SabsinCab时等号成立，解得此时ab故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，还考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题16.如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则_【答案】【解析】试题分析：因为是抛物线的焦点，所以，因为正方形的边长为，所以，因为在抛物线上，所以，即，所以，解得或，因为，所以考点：抛物线的几何性质【方法点
13、晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答红球的抛物线的焦点坐标，得到四边形的面积，列出关于的方程是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题三、解答题17.的内角，所对的边分别为，.（1）若，成等差数列，证明：；（2）若，成等比数列，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）因，成等差数列，所以，再利用正弦定理及诱导公式，即可证明；（2）因为，成等比数列，所以，再利用余弦定理，结合基本不等式，进而得出结论.【详解】（1），成等差数列，由正
14、弦定理得，；（2），成等比数列，由余弦定理得，（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）即，所以的最小值为.【点睛】本题重点考查正弦定理、余弦定理及诱导公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18.如图所示的多面体中，AD平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，CDP120，AD3，AP5，（）试确定点F的位置，使得直线EF平面PDC；（）若PB3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）当点F为BP中点时，使得直线EF平面PDC；（）【解析】【分析】（）设F为BP中点，取AP中点G，连
15、结EF、EG、FG，推导出GFABCD，EGDP，从而平面GEF平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF平面PDC（）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，的坐标，代入公式sin求解【详解】（）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，AD平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，GFABCD，EGDP，EGFGG，DPCDD，平面GEF平面PDC，EF平面GEF，当点F为BP中点时，使得直线EF平面PDC（）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，
16、建立空间直角坐标系，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，CDP120，AD3，AP5，cos120，解得CD2，所以A（0，0，3），B（2，0，3），P（2，2，0），C（2，0，0），设F（a，b，c），由PB3BF，得，即（a2，b，c3）（8，2，3），解得a，b，c2，F（，2），（，1），（0，0，3），（4，2，0），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设直线AF与平面PBC所成角为，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：【点睛】本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，还考
17、查了转化化归的思想和运算求解能力，属于中档题19.2016年春节期间全国流行在微信群里发抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组频 数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率若红包金额在区间内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者，设其手气金额分别为，求事件“”的概率【答案】（1）；（2）平均数为：12.44；（3）；【解析】【分析】（1）由题意利用互斥事
18、件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率（2）先求出手气红包在，、，、，、，、，、，内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数（3）由题可知红包金额在区间，内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率由频率分布表可知，红包金额在，内有3人，在，内有2人，由此能求出事件“ “的概率【详解】解：（1）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：，产生的手气红包的金额不小于9元的频率为（2）手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，则手气红包金额的平均数为：（3）由题可
19、知红包金额在区间，内有两人，抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率由频率分布表可知，红包金额在，内有3人，设红包金额分别为，在，内有2人，设红包金额分别为，若，均在，内，有3种情况：，若，均在，内只有一种情况：，若，分别在，和，内，有6种情况，即，基本事件总数，而事件“ “所包含的基本事件有6种，【点睛】本题考查频率的求法，考查概率的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用20.已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）（）求椭圆C的标准方程；（）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程
20、，并求ABP面积的最大值【答案】（）1；（）【解析】【分析】（）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相垂直，所以三角形PAB的面积为SABP|PA|PB|，当且仅当|PA|PB|时取等号，此时得到点P的坐标求解.【详解】（）由题意
21、可得e，1，c2a2b2，解得a24，b22，所以椭圆的方程为：1；（）设两个切点分别为A，B，当两条切线中有一条斜率不存在时，即A，B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P的坐标为：（2，），当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线的方程为：ynk（xm），联立直线ynk（xm）和椭圆的方程，整理可得（1+2k2）x24k（kmn）x+2（kmn）240，由题意可得16k2（kmn）24（1+2k2）2（kmn）240，整理可得（m24）k22kmn+n220，所以k1k2，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2，而PA，PB互相垂直，所以1，即m2+n26，（m2），又
22、因为P（2，）在m2+n26上，所以点P在圆x2+y26上因为l1l2，所以SABP|PA|PB|，当且仅当|PA|PB|时取等号，即P在椭圆的短轴所在的直线上时即P（0，），由圆及椭圆的对称性设P（0，），则直线PA的斜率为1，可得直线PA的方程为：yx，代入椭圆的方程可得3x2+4x+80，解得x，y，即A（，），所以|PA|，所以AB22|PA|2，所以（SABP）max【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系和求轨迹方程，还考查了运算求解的能力，属于难题21.已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围;（2）设两个极值点分别为：，证：.【答案】（1）（2
23、）见解析【解析】【分析】（1）由题得，令，则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点，再利用导数得到，解不等式即得解；（2）分析得到要证：，只需证明，即证，不妨设，即证，构造函数构造函数，其中，证明即得证.【详解】（1）由题意可知，的定义域为，且，令，则函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在区间内至少有两个不同的零点.由可知，当时，恒成立，即函数在上单调，不符合题意，舍去.当时，由得，即函数在区间上单调递增；由得，即函数区间上单调递减；故要满足题意，必有，解得.（2）证明：由（1）可知，故要证，只需证明，即证，不妨设，即证，构造函数，其中，由，所以函数在区间内单调递
24、减，所以得证.即证.【点睛】本意主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点的坐标【答案】（1），；（2）到直线距离的最小值为：，此时点的坐标为【解析】【分析】（1）先将直线的参数方程消去参数化为普通方程，再将其转化为极坐标方程，
25、把化为，然后两边同乘以，再利用公式可转化为直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出点的坐标即可【详解】解：（1）由（为参数），消去参数得，所以直线的极坐标方程为，即，由，得，得 ，所以曲线的直角坐标方程为（2）设，则，点到直线的距离为当时，此时 所以当时，点到直线的距离最小，最小值为【点睛】此题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，属于基础题.选修45：不等式选讲23.设函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，,，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：，当时，成立； 当时，即，则所以的解集为.（2）由（1）知，由于，则，当且仅当，即时取等号，则有【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法