1、山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上第二次质量检测考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线，可得，且开口向左，其准线方程为.故选B考点：抛物线的几何性质2.在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.3.在R上定义运算
2、，若成立，则x的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解得故选A4.设等比数列an的前n项和为Sn，若，则=（ ）A. B. C. 17D. 5【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质可得：S5，S10S5，S15S10（各项不为0）成等比数列，即可得出【详解】由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，不妨设S5=1，由，可得S10=5（5-1）2=1（S15-5），解得S15=21，则=故选B【点睛】本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.设向量，其中为坐标原点，若三点共线，则的最
3、小值为（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 9【答案】C【解析】向量，其中为坐标原点，三点共线，解得，当且仅当，取等号，故的最小值为8，故选C.点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件6.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1
4、、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则DF1A或其补角就是异面直线BD1与AF1所成角，在DF1A中利用余弦定理求出此角即可【详解】取BC的中点D，连接D1F1，F1D,D1BDF1,DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,设BCCACC12，则AD，AF1，DF1,在DF1A中，由余弦定理得cosDF1A，故选B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7.已知点M是抛物线上的一点，F为抛
5、物线的焦点，点A在圆上，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，因此先求的最小值，由此可知当共线时取得最小值【详解】如图，是抛物线的准线，过作，垂足为，则，易知当共线，即时，取得最小值，由已知，圆半径为，准线为，所以的最小值是，所以当是线段与圆的交点时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查抛物线上点到焦点与到圆上点距离和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化到到准线的距离，到圆上点的距离转化为到圆心的距离，从而利用三点共线得最小值再确定圆上动点位置求得最小值考查了转化与化归思想8.已知、分别是双曲线的
6、左、右焦点，以为直径的圆交渐近于点（在第一象限），交双曲线左支于，若是线段的中点，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画图分析,先算得的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率.【详解】画出图像,连接,则,故,又直线的斜率为,故,又,所以,又在双曲线上,故,化简得,故.因为,故解得 故选A【点睛】本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.如果，那么下列不等式正确的是（ ）A.
7、B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】利用作差法逐一判断即可.【详解】解：A. ，故错误；B. ，当时，故错误；C. ，故正确；D. ，故正确.故选CD.【点睛】本题考查作差法判断不等式是否成立，作差法是判断不等式成立与否的重要方法，要牢记.10.已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.A. B. 最小C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】化简得到，时，没有最小值，再计算，得到答案.【详解】即，正确；当时，没有最小值，错误；，正确；，正确.故选【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用.11.下列说法正确的有（ ）A. 不等式的
8、解集是B. “，”是“”成立的充分条件C. 命题，则，D. “”是“”的必要条件【答案】ABD【解析】【分析】解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C【详解】由得，A正确；时一定有，但时不一定有成立，如，满足，但，因此“，”是“”成立的充分条件，B正确；命题，则，C错误；不能推出，但时一定有成立，“”是“”的必要条件，D正确故选：ABD【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题12.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A.
9、 的方程为B. 的离心率为C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.【详解】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20
10、分13.过点的等轴双曲线的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设双曲线方程为，代入已知点的坐标可得结论【详解】设双曲线方程为，因为双曲线过点，所以，即，所以双曲线方程为，即故答案：【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，对于已知渐近线方程为的双曲线方程可直接设为，结合其他条件求得即可14.数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论.【详解】由，得，是周期为4的数列，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（
11、2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.15.若中，则的值=_【答案】【解析】【分析】利用向量的垂直与数量积的关系计算【详解】由已知得，因为，所以，解得，故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的性质是解题关键：两个非零向量，16.在一直角坐标系中，已知，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_【答案】【解析】【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可【详解】解：在直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，所以,所以，所以,故答案为：【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合
12、的思想，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18，19，20题每小题12分，第21，22题每小题14分，共74分17.已知命题关于x的不等式的解集是 ；命题双曲线的离心率不小于若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围【答案】【解析】【分析】由关于x的不等式的解集是，得，从而可求出a的取值范围，再由的条件得，解出a的取值范围，再求交集可得结果.【详解】【点睛】此题考查了一元二次不等式的解与判别式的关系，双曲线的标准方程和离心率，考查了命题的真假判断，属于基础题.18.已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）
13、；（2）【解析】【分析】（1）先根据和项与通项公式求数列通项公式，再根据等比数列定义求的通项公式；（2）根据错位相减法求数列的前n项和.【详解】（1）因为数列的前n项和，所以当时，；当时，；所以因为，所以公比,(2) 设数列的前n项和为，则，相减得：，即【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19.过抛物线的焦点F的直线交地物线于点AB（其中点A在第一象限），
14、交其准线l于点C，同时点F是AC的中点（1）求直线AB的倾斜角；（2）求线段AB的长【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由点F是AC的中点，结合抛物线的定义可得点A的坐标，由此可得直线的AB斜率，从而可求出直线AB的倾斜角；（2）将直线方程和抛物线方程联立成方程组求出点B的坐标，再抛物线的焦点弦公式可求得AB的长.【详解】解：（1）由题可知，准线l的方程为，设A，B在准线上的投影分别为，准线与轴交于点，则，因为F是AC的中点，所以,所以点A的横坐标为3，当时，由于点A在第一象限，所以点A的坐标为，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以，（2）直线AB的方程为，由，得，解得，所以点B的横坐
15、标为，所以【点睛】此题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，考查数学转化思想，属于中档题.20.如图，四面体ABCD中，平面DAC底面ABC，ADCD，O是AC的中点，E是BD的中点（1）证明：DO底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，在根据面面垂直的性质定理，证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明： ADCD，O是AC的中点， DOAC 平面DAC底面ABC，平面DAC底面ABCAC， DO底面ABC（2）解
16、：由条件易知DOBO，BOACOAOCOD2， OB如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系则，设平面ADE的一个法向量为，则 即令，则，所以 同理可得平面AEC的一个法向量因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人
17、工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.（）求；（）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值多少？（年平均获利）【答案】（）（）第年（）经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元【解析】【分析】（）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列.（）把y表示成n的二次函数，令解x即可得出答案.（）年平均盈利为,利用基本不等式求出该超市经营6年，其年平均获利最大.【详解】解：（）由题意知，每年需付出的费用是以为首项，为公差的等差数列，求得（）设超市第年后开始盈利，盈利为万元，则由，得，解得，故即第年开始盈利（）
18、年平均盈利为当且仅当，即时，年平均盈利最大故经过年经营后年平均盈利最大，最大值为万元【点睛】本题考查数列在实际生活中的利用，考查了等差数列的通项公式、基本不等式，确定函数关系是解题的关键.22.已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 当，且满足时，求弦长的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上，且，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；（2）利用直线l：y=kx+m与O：x2+y2=1相切，可得m2=k2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利，可确定其范围【详解】（1）由得，可得，将点代入椭圆方程得，又因为，联立解得，故椭圆方程为（2）直线与O相切，则由得因为直线与椭圆交于不同的两点设， 设，则，在上单调递增 ，【点睛】本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性