1、天津市河北区2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.下列结论中，正确的是（ ） A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.若向量 a 与 b 都是单位向量，则 a=bC.若向量 a 与 b 是平行向量，则 a 与 b 的方向相同D.若两个向量相等，则它们的模相等2.已知向量 a=(2,4) ， b=(-1,1) ，则 2a-b= （ ） A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)3.已知 i 是虚数单位，则 2i1-i= （ ） A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i4.如图所示，已知在 ABC 中，D是边AB上的中点，则
2、 CD= （ ） A.BC-12BA B.-BC+12BA C.-BC-12BA D.BC+12BA5.下面给出的命题中，正确的个数是（ ） 一个棱柱至少有5个面平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形正棱锥的侧面是全等的等腰三角形有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台A.1B.2C.3D.46.用斜二测画法画水平放置的 ABC 的直观图 ABC 如图所示，则在 ABC 的三边及中线AD中，最长的线段是（ ） A.ABB.ADC.BCD.AC7.棱长为a的正四面体的表面积为（ ） A.312a2B.38a2C.34a2D.3a28.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a
3、，b，c，若 a=2 ， b=2 ， A=6 ，则满足条件的 ABC （ ） A.无解B.有一个解C.有两个解D.不能确定9.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b=2acosC ，则 ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不正确10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.A.853B.4153C.2153D.2 5二、填空题（共5题；共20分）11.已知i是虚数单位，
4、则复数 1+2i 在复平面内对应的点的坐标为_. 12.已知向量 a=(1,-2) ， b=(2,) ，若 ab ，则实数 的值为_. 13.已知 |a|=6 ， e 为单位向量，若向量 a 与 e 的夹角为 135 ，则向量 a 在 e 上的投影向量为_. 14.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=1 ， AD=2 ， AA1=3 ，则三棱锥 D1-ABC 的体积为_. 15.在 ABC 中， AB=1 ， AC=2 ， (AB+AC)AB=2 ，则角A的大小为_. 三、解答题（共4题；共40分）16.已知向量 |a|=3 ， |b|=2 ， a 与 b 的夹角为 3 . （1）
5、求 ab 及 |a+b| ； （2）求 (a+2b)(a-3b) . 17.已知复数 z=(m2-m)+(m-1)i(mR) . （1）若 z 为实数，求 m 值； （2）若 z 为纯虚数，求 m 值； （3）若复数 z 对应的点在第一象限，求 m 的范围. 18.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a=2 ， cosB=35 . （1）若 b=4 ，求 sinA 的值及 ABC 的外接圆半径； （2）若 ABC 的面积为4，求b和c的值. 19.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 m=(cosA,sinB) ， n=(a,3b) ，且 m/n
6、 . （1）求角A的大小； （2）若 a=7 ， b=2 ，求边c和 ABC 的面积. 答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.下列结论中，正确的是（ ） A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.若向量 a 与 b 都是单位向量，则 a=bC.若向量 a 与 b 是平行向量，则 a 与 b 的方向相同D.若两个向量相等，则它们的模相等【答案】 D 【考点】向量的模，单位向量，平行向量与共线向量，相等向量与相反向量 【解析】【解答】A两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误； B单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；C
7、若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；D相等向量的模长相等，方向相同，故正确，故答案为：D. 【分析】利用相等向量的判断方法结合向量的几何意义，再利用单位向量的定义和向量相等的关系，再结合平行向量的对应推出两向量的方向的关系，再利用向量相等与向量的模的关系，进而选出正确选项。2.已知向量 a=(2,4) ， b=(-1,1) ，则 2a-b= （ ） A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)【答案】 A 【考点】平面向量的坐标运算 【解析】【解答】因为 2a=(4,8) ，所以 2a-b=(4,8)-(-1,1) =（5，7）， 故答案为：A. 【分析】利
8、用已知条件结合数乘向量的坐标表示和两向量减法的坐标运算，从而求出向量2a-b的坐标表示。3.已知 i 是虚数单位，则 2i1-i= （ ） A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因为 2i1-i=2i(1+i)2=-1+i 。 故答案为：A 【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数。4.如图所示，已知在 ABC 中，D是边AB上的中点，则 CD= （ ） A.BC-12BAB.-BC+12BAC.-BC-12BAD.BC+12BA【答案】 B 【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】【
9、解答】 CD=BD-BC=12BA-BC=-BC+12BA . 故答案为：B 【分析】根据题意由向量的加、减运算法则整理即可得出答案。5.下面给出的命题中，正确的个数是（ ） 一个棱柱至少有5个面平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形正棱锥的侧面是全等的等腰三角形有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台A.1B.2C.3D.4【答案】 C 【考点】棱柱的结构特征，棱锥的结构特征，棱台的结构特征 【解析】【解答】根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即正确； 由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即正确；根据正棱锥
10、的特征可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；即正确；根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，即错；因此正确的个数有3个.故答案为：C. 【分析】利用棱柱、棱锥和棱台以及平行六面体的结构特征，进而找出正确命题的个数。6.用斜二测画法画水平放置的 ABC 的直观图 ABC 如图所示，则在 ABC 的三边及中线AD中，最长的线段是（ ） A.ABB.ADC.BCD.AC【答案】 D 【考点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】根据 ABC 的形状可知 ABC 的形状如下图：
11、 由图可知，最长的线段为AC。故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，进而还原原平面图形，进而找出在 ABC 的三边及中线AD中的最长的线段。7.棱长为a的正四面体的表面积为（ ） A.312a2B.38a2C.34a2D.3a2【答案】 D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】因为正四面体是各面都是全等的等边三角形， 又因为该正四面体的棱长为 a ，所以该正四面体的表面积为 S=412aa2-(a2)2=3a2 。故答案为：D. 【分析】因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，又因为该正四面体的棱长为 a ，再结合正四面体的表面积公式，进而求出棱长
12、为a的正四面体的表面积。8.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 a=2 ， b=2 ， A=6 ，则满足条件的 ABC （ ） A.无解B.有一个解C.有两个解D.不能确定【答案】 C 【考点】正弦定理 【解析】【解答】因为 a=2A ，所以 sinB=basinA=22 ，因为 B 为三角形内角，所以 6B56 ，因此 B=4 或 B=34 ，若 B=4 ，则 C=712 符合题意；若 B=34 ，则 C=12 ，符合题意；因此 ABC 有两个解；故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而结合三角形中角之间的大小关系和三角形中内角的取值范围，再结合分类讨论
13、的方法和三角形内角和为180度的性质，进而得出满足条件的三角形的解的个数。9.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b=2acosC ，则 ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不正确【答案】 A 【考点】余弦定理，三角形的形状判断 【解析】【解答】由 b=2acosC ，根据余弦定理，可得 b=2aa2+b2-c22ab=a2+b2-c2b ， 整理得 a2-c2=0 ，所以 a=c ，即 ABC 为等腰三角形。故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合余弦定理，可得 b=a2+b2-c2b ，所以 a=c ，再利用等腰三角形的定义，
14、进而判断出三角形的形状。10.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.A.853B.4153C.2153D.2 5【答案】 B 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】由已知， ACD 中， CAD=30 ， ACD=120 ， 由正弦定理， CDsinCAD=ADsinACD ，所以 AD=CDsinACDsinCAD=4sin120sin30=43 ，在 BCD 中， CBD=60 ，由正弦定理， CDsinCBD=BDsi
15、nBCD ，所以 BD=CDsinBCDsinCBD=4sin45sin60=436 ，在 ABD 中，由余弦定理， AB2=AD2+BD2-2ADBDADB=803 ，解得： AB=4153 所以 A 与 B 的距离 AB=4153 .故答案为：B 【分析】先由已知利用正弦定理列式，得到AD与BD，再利用余弦定理列式，即可求出两目标A，B间的距离.二、填空题（共5题；共20分）11.已知i是虚数单位，则复数 1+2i 在复平面内对应的点的坐标为_. 【答案】 （1,2） 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】复数 1+2i 在复平面内对应的点的坐标为（1,2）。 故答案为：（
16、1,2）。 【分析】利用复数的几何意义，进而求出复数对应的点的坐标。12.已知向量 a=(1,-2) ， b=(2,) ，若 ab ，则实数 的值为_. 【答案】 1 【考点】数量积的坐标表达式 【解析】【解答】因为向量 a=(1,-2) ， b=(2,) ，若 ab ，则 ab=2-2=0 ， 解得 =1 。故答案为：1。 【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而求出 实数 的值。13.已知 |a|=6 ， e 为单位向量，若向量 a 与 e 的夹角为 135 ，则向量 a 在 e 上的投影向量为_. 【答案】-32e【考点】向量的投影 【解析】【
17、解答】因为 |a|=6,=135 ， 所以向量 a 在 e 上的投影向量为： |a|cose=6(-22)e=-32e。故答案为： -32e 。 【分析】利用单位向量的定义结合已知条件，从而结合向量投影公式，进而求出向量 a 在 e 上的投影向量。14.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=1 ， AD=2 ， AA1=3 ，则三棱锥 D1-ABC 的体积为_. 【答案】 1 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱和底面垂直， 因此 DD1 即为三棱锥 D1-ABC 的高，所以三棱锥 D1-ABC 的体积为 VD1-ABC=1
18、3SABCDD1=1312123=1 。故答案为：1。 【分析】因为长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱和底面垂直，因此 DD1 即为三棱锥 D1-ABC 的高，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积。15.在 ABC 中， AB=1 ， AC=2 ， (AB+AC)AB=2 ，则角A的大小为_. 【答案】3【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】由题意 (AB+AC)AB=AB2+ACAB=12+12cosA=2 ， cosA=12 ，又因为 A(0,) ，所以 A=3 。故答案为： 3 。 【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合
19、数量积的定义，进而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。三、解答题（共4题；共40分）16.已知向量 |a|=3 ， |b|=2 ， a 与 b 的夹角为 3 . （1）求 ab 及 |a+b| ； （2）求 (a+2b)(a-3b) . 【答案】 （1）解： ab=|a|b|cos=32cos3=3 ， |a+b|=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=32+23+22=19（2）解： (a+2b)(a-3b)=a2-ab-6b2=32-3-622=-18【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数
20、量积的定义，从而求出数量积 ab的值；再利用数量积求模公式结合已知条件，从而求出向量的模。 （2）利用数量积的运算法则结合数量积的定义，再结合已知条件求出 (a+2b)(a-3b) 的值。 17.已知复数 z=(m2-m)+(m-1)i(mR) . （1）若 z 为实数，求 m 值； （2）若 z 为纯虚数，求 m 值； （3）若复数 z 对应的点在第一象限，求 m 的范围. 【答案】 （1）解： 复数 z=(m2-m)+(m-1)i 为实数，则 m-1=0 ，解得 m=1（2）解： 复数 z=(m2-m)+(m-1)i 为纯虚数，则 m2-m=0m-10 ，解得 m=0（3）解： 复数 z
21、对应的点在第一象限，则 m2-m0m-10 ，解得 m1 . 因此，实数 m 的取值范围是 (1,+)【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【分析】（1）利用复数为实数的判断方法，进而求出m的值。 （2）利用复数为纯虚数的判断方法，进而求出m的值。 （3）利用复数的几何意义，进而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，再利用已知条件复数 z 对应的点在第一象限， 进而求出m的取值范围。18.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a=2 ， cosB=35 . （1）若 b=4 ，求 sinA 的值及 ABC 的外接圆半径； （2）
22、若 ABC 的面积为4，求b和c的值. 【答案】 （1）解：因为 cosB=35 ， B 为三角形内角，所以 sinB=45 ； 又 b=4 ， a=2 ，所以由正弦定理可得： asinA=bsinB=2r （其中 r 为 ABC 的外接圆半径），因此 sinA=absinB=25 ， r=b2sinB=485=52（2）解：因为 ABC 的面积为4， a=2 ， sinB=45 ， 所以 SABC=4=12acsinB=45c ，因此 c=5 ；由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=4+25-22535=17 ，所以 b=17【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析
23、】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和三角形中角B的取值范围，进而求出角B的正弦值，再利用正弦定理的性质，进而求出角A的正弦值和三角形 ABC 的外接圆半径。 （2）利用三角形面积公式结合已知条件，进而求出c的值，再利用余弦定理，进而求出b的值。19.已知 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 m=(cosA,sinB) ， n=(a,3b) ，且 m/n . （1）求角A的大小； （2）若 a=7 ， b=2 ，求边c和 ABC 的面积. 【答案】 （1）解：因为 m=(cosA,sinB) ， n=(a,3b) ，且 m/n ， 所以 3bcosA-as
24、inB=0 ，由正弦定理可得 3sinBcosA-sinAsinB=0 ，因为A，B为 ABC 的内角，所以 A,B(0,) ，因此 3sinBcosA-sinAsinB=0 可化为 3cosA=sinA ，即 tanA=3 ，所以 A=3（2）解：因为 a=7 ， b=2 ， A=3 ， 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA ，即 7=4+c2-2c ，即 c2-2c-3=0 ，解得 c=3 或 c=-1 （舍），所以 ABC 的面积为 SABC=12bcsinA=332【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示，所以 3bcosA-asinB=0 ，由正弦定理可得 3sinBcosA-sinAsinB=0 ，因为A，B为 ABC 的内角，因此 3sinBcosA-sinAsinB=0 可化为 3cosA=sinA ，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的正切值，从而求出角A的值。 （2）利用已知条件结合余弦定理，从而得出 c2-2c-3=0 ，再解一元二次方程求出c的值，再利用三角形面积公式求出三角形 ABC 的面积。332