1、32.3空间的角的计算1.理解直线与平面所成角的概念2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量分别为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的
2、余弦值为cosn1，n2.()(3)直线与平面所成角的范围为.()答案：(1)(2)(3)2平面的一个法向量n(1，1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_答案：3已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_答案：45或135求异面直线所成的角如图所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，所以(，1，).(，1，)所
3、以cos，.所以异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.建立空间直角坐标系时，要充分利用题目中的垂直关系以方便求点的坐标，本题的建系是关键另外用向量法求异面直线的夹角比用几何法求解更简便，但要注意夹角的范围 1.在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60.在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值解：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为ADCDAB90，AB4，AD2.所以B(2，4，0)由PD平面ABCD，得PAD为PA与平面A
4、BCD所成的角，所以PAD60.在RtPAD中，由AD2，得PD2.所以P(0，0，2)(2)因为A(2，0，0)，C(0，1，0)，所以(2，0，2)，(2，3，0)，所以cos，.所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为.求直线与平面所成的角如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解】(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连结AT，TN.(图略)由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT
5、为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连结AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)于是|cosn，|，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.求线面角的两种思路(1)线面角转化为线线角，即根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线间的夹角来求解，此时要区分直线的方向向量的夹角与直线夹角 (2)向量法
6、求解步骤如下：分析图形关系，建立空间直角坐标系；求出直线的方向向量s和平面的法向量n；求出夹角s，n；判断直线和平面所成的角和s，n的关系，求出角.2.如图，在四面体ABCD中，ADBD，ADDC，BDDC，且AD1，BDCD2，E，F，G，H分别为所在边中点(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：(1)证明：因为E、F、G、H分别为所在边中点，所以EF綊AD，GH綊AD，所以EF綊GH，所以四边形EFGH是平行四边形又因为ADDC，ADBD，所以AD平面BDC，所以ADBC，所以EFFG，所以四边形EFGH是矩形(2)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐
7、标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，因为EFAD，FGBC，所以n0，n0，得取n(1，1，0)，所以sin |cos，n|.求二面角如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值【解】(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作D
8、GEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，)由已知，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2，0，)连结AC，则(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(
9、3，0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.求二面角的两种思路(1)若AB，CD分别是二面角l的两个面，内与棱l垂直的异面直线，则向量与的夹角就是二面角的平面角，如图所示(2)设n1，n2分别是二面角l的两个半平面，所在平面的法向量，则向量n1与n2的夹角或其补角就是二面角的平面角，如图所示 3.如图PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解：法一：如图建立空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连结DC，可证DCPB，作AEPB于E，则向量与的夹角的大小即为二面角APBC的大小因为A(1，0，0)，B(0
10、，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，D为PB的中点，所以D，又AB2EBPB，AP2PBPE.故，则E，所以，所以，|，|1，所以cos，故二面角的余弦值为.法二：作CGAB于G，作AEPC于E.易证，CG平面APB，AE平面PBC，所以，、分别是平面APB和平面PBC的一个法向量如图，建立空间直角坐标系Cxyz，则B(0，0)，A(1，0，0)，E，C(0，0，0).，则G点的坐标为.因为，.|，|，所以cos，故二面角APBC的余弦值为.对三种空间角的再理解(1)两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角(2)若直线与平面所成的角为，直线的方向向量和平
11、面的法向量夹角为，则其关系为sin |cos |.(3)若二面角为，两平面的法向量夹角为，则|cos |cos |，需分辨角是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长【解】(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1
12、)，故(0，1，1)，(a，0，1)，.因为011(1)10，所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)因为n平面B1AE，所以n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.因为B1CA1D，所以AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，所以AD1平面DCB1A1
13、，所以是平面A1B1E的一个法向量，此时(0，1，1)设与n所成的角为，则cos .因为二面角AB1EA1的大小为30，所以|cos |cos 30，即，解得a2，即AB的长为2. (1)本题解答时，易出现以下四个方面的错误：空间直角坐标系的建立不合理，引起烦琐的计算，使结果错误不能正确设出点P的坐标，致使探索性问题无法进行叙述不完整，失去步骤分不能全面考虑问题，快速求出平面的法向量，或不会利用上一问的结论，完成后续工作(2)解决该类问题应把握以下三点：在解题时选择恰当的原点，建立最简单的空间直角坐标系可使解答时运算简化正确地表示出几何图形中各点坐标是正确地表示向量的前提快速求出平面的法向量是
14、解答此类题目必须熟练的一个步骤1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30B150C30或150 D以上均错答案：A2已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150答案：A3正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为_答案： A基础达标1已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A.B.C.或 D.或解析：选C.由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大
15、小为或，故选C.2已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，则直线AC与DE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，cos，.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以(2，0，1)连结AC，易证AC平面BB1D1D，
16、所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2，2，0)所以所求角的正弦值为|cosa，|.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C150 D60解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1，0，1)又平面EAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.5
17、如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连结OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，(0，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由(，0)，(，0，)，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.6已知点A(1，0，0)，B(0，2，
18、0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得(1，2，0)，(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由，知.令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_解析：设三棱柱的棱长为1，以B为原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则.易知平面BB1C1C的一个法向量n(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为，则sin |cosn，|，所以co
19、s .答案：如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB4 cm，宽AD3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120的二面角，求折叠后BD的长解：作DEAC，BFAC，点E，F为垂足，则AC5 cm，DEBF4 cm，AECF cm，EF cm.折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且|2()2|2|2|2222|2|2|22|cos 602，所以BD cm，即折叠后BD的长为 cm.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：(1)如图所示，以点A为坐标原点
20、，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1.(2)取A1B1的中点M，则M，连结AM，MC1，有，且(0，a，0)，(0，0, a)，所以0，0，所以MC1AB，MC1AA1，因为ABAA1A，所以MC1平面ABB1A1.所以与所成角即为所求的角因为02a2a2，| a，| a，所以cos，所以，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.B能力提升1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线A
21、M与CN所成角的余弦值为_解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，所以，.所以cos，.答案：如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BC
22、CC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)则(0，0，1)，(1，1，1)，(1，0，1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1，1，0)同理，设m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则即可取m(1，2，1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.(选做题)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1
23、.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)(1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1，2，1)又(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得(2，1，0)设AEh，h0，2，则E(0，0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.
