1、第四节 合情推理与演绎推理第四节 合情推理与演绎推理 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称归纳推理分类：完全归纳和不完全归纳(2)类比推理定义：根据两个(或类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称类比推理思考感悟1由合情推理所获得的结论一定正确吗？提示：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明2演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的_；小前提所研究的_；结论根据一般原理，对_作出的判断(2)
2、特点：是由_的推理一般原理特殊情况特殊情况一般到特殊思考感悟2演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论课前热身 1(2011年常州质检)把空间中的平行六面体与平面上的平行四边形类比，由“平行四边形的对边相等”得出平行六面体的相关性质是_答案：平行六面体的相对侧面全等2由87,169,3211,6413，则对nN*有_答案：2n22n53两条直线平行，同时和第三条直线相交，内错角相等，A和B是两条
3、平行直线的内错角，则AB，该证明过程的大前提是_，小前提是_，结论是_答案：两直线平行，内错角相等 A和B是两条平行直线的内错角 AB4(2010年高考陕西卷)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_答案：132333435363212考点探究挑战高考 考点突破 归纳推理 1归纳推理的特点(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的2归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质(2)从已知的相同性质中推出一个明
4、确表述的一般性命题已知 F1、F2 分别是双曲线x24 y291 的左、右两焦点，点 M 在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2 的面积；(2)若F1MF2120，F1MF2 的面积是多少？若F1MF260，F1MF2 的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随F1MF2 的变化，F1MF2 的面积将怎样变化吗？例1【思 路 分 析】因 为SF1MF2 12MF1MF2sinF1MF2，所 以 只 须 求 出MF1MF2 即可，这可根据余弦定理及双曲线的定义求得【解】(1)由双曲线的方程知 a2，b3，c 13，设 MF1m，MF2n，则|mn|4，(mn)216，即 m2n2
5、2mn16.又F1MF290，m2n2(2c)252.mn12(m2n216)12(5216)18.SF1MF212mn12189.(2)若F1MF2120，则在F1MF2 中，由余弦定理，得 F1F22m2n22mncosF1MF2，即(2 13)2(mn)22mn2mncos120，52162mnmn，mn12.SF1MF212mnsinF1MF21212sin1203 3.同理求得，当F1MF260时，SF1MF29 3.(3)由以上结果可看出：随着F1MF2的增大，F1MF2的面积在减小【名师点评】针对探究性题目，一般使用的方法是求一些特殊的值，然后再进行归纳、猜想，中间再加一些验证的
6、手段，从而解决问题互动探究 1 如果把例 1 中的双曲线变为椭圆x29 y241，其他条件不变，试解答相应的三问解：由椭圆的方程知 a3，b2，c 5.设 MF1m，MF2n，则 mn6.(1)当F1MF290时，m2n2(2c)220，(mn)2m2n22mn36，mn8.SF1MF212mn4.(2)当 F1MF2 120 时，(2c)2 m2 n2 2mncos120，m2n2mn20，(mn)2mn20，mn16.SF1MF212mnsin1204 3.当F1MF260时，(2c)2m2n22mncos60，m2n2mn20，(mn)23mn20，mn163.SF1MF212mnsin
7、6012163 32 4 33.(3)由以上结果可看出：随着F1MF2的增大，F1MF2的面积在增大类比推理 1类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)2类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到空间立体几何中，得到类似结论一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于D，求证：1AD2 1AB2 1AC2.那么在四面体ABCD
8、 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由例2【思路分析】用综合法证明结论，猜想结论并证明【证明】如图所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，1AD21BDDCBC2BDBCDCBCBC2AB2AC2.又 BC2AB2AC2，1AD2AB2AC2AB2AC2 1AB2 1AC2.所以 1AD2 1AB2 1AC2.猜想：类比 ABAC，ADBC，猜想四面体 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE平面 BCD，则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.证明如下，如图，连结 BE 交 CD 于 F，连结 AF.ABAC，ABAD，AB平面 ACD，而 AF
9、 面 ACD，ABAF.在 RtABF 中，AEBF，1AE2 1AB2 1AF2.在 RtACD 中，AFCD，1AF2 1AC2 1AD2.1AE2 1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确【名师点评】(1)类比推理的步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想(2)类比结论的可靠程度，依赖于两个或两类对象的共有属性，一般来说，共有属性愈多，结论的可靠程度也就愈大；共有属性愈是本质的，结论的可靠程度也就愈高变式训练 2 已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形
10、ABC 的重心，则AGGD2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体 ABCD 中，若BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等”，试求AOOM的值解：如图设正四面体的棱长为 1，则其高 AM 63，此时易知点 O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为 r，利用等积法有 413 34 r13 34 63，得 r 612，故 AOAMMO 63 612 64，故 AOOM 64 6123.演绎推理 1演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论
11、必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论2演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理三段论：“救援飞机准时起飞就能准时到达玉树灾区，这架救援飞机准时到达了玉树灾区，这架救援飞机是准时起飞的”中，“小前提”是_(填序号)【思路分析】根据三段论的结构特征即可解决例3【解析】这个三段论推理中的大前提是“救援飞机准时起飞就能准时到达玉树灾区”，小前提是“这架救援飞机是准时起飞的”，结论是“这架救援飞机准时到达了玉树灾区”故应填.【答案】【名师点评】解决本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(准时
12、起飞)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(准时到达了玉树灾区)”方法感悟 方法技巧1合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律；类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比合情推理得出的结论要进行证明，可靠性才能得到确定2合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前
13、提下，得到的结论一定正确失误防范1类比推理由平面到空间时，类比“元素”易出错2三段论推理要注意大前题、小前题对结论的影响，大前题、小前题及推理形式三者任何一方有错误，都有可能导致整个三段论推理错误考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题来看，归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳推理、演绎推理大部分在填空题中出现，难度以中、低档为主，主要考查类比推理能力、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，在知识交汇处命题，难度不大，主要考查学生的逻辑推理能力，以及解决问题、分析问题的能力预测2012年江苏高考仍将以归纳推理、类比推理，特别是演绎推理为主要考查点，重点考查学生的逻
14、辑推理能力真题透析(2009年高考江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_例【解析】两个正三角形是相似三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.【答案】18【名师点评】平面与空间类比时，面积类比体积，熟知常见的类比背景，对于类比推理的应用有较好的帮助高考中对此类问题的考查常以填空题形式出现名师预测 1如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为1n(n2)，每个数
15、是它下一行左、右相邻两数的和，如111212，121316，1314 112，则第十行第四个数(从左往右数)为_1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15 解析：从第七行开始，第七行的第一个数为17，于是得第八行的前两个数分别为18及1718 187.第九行的前三个数分别为19，1819 198，187 1982987.第十行的前四个数分别为 110，19 1101109，198110921098，2987210982310987 1840.答案：18402若数列an(nN*)是等差数列，则 bna1a2ann也为等差数列，类比上述性质，若数列c
16、n是等比数列，且 cn0(nN*)，则有dn_也是等比数列解析：n c1c2cnn cn1q12nncn1qn(n1)2 c1q(n1)2，是等比数列答案：n c1c2cn3观察下列式子：1 12232，1 122 13253，1 122 132 14274，根据以上式子可以猜想：1 122 132120112_.解析：据已知可知所猜想式子的分母为 2011，分子为 3(20101)24019，故应填入40212011.答案：402120114在计算“112 1231nn1(nN*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第 k 项：1kk11k 1k1，由此得 1121112，1231213，1nn11n1n1，相加，得 112 1231nn11 1n1 nn1.类比上述方法，请你计算“112312341n(n1)(n2)(nN)”，其结果为_*解析：由条件可类比推出1(k1)(k2)121k(k1)1(k1)(k2)，从而有 12112 123 123 1341n(n1)1(n1)(n2)121121(n1)(n2)n23n4(n1)(n2).答案：n23n4(n1)(n2)温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果。请进入“课时闯关决战高考(33)”，指导学生每课一练，成功提升成绩.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用