1、38正弦定理、余弦定理应用举例一、选择题1某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A.B2C.或2 D3解析：如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由正弦定理，得CAB60或120，当CAB60时，ACB90，AB2；当CAB120时，ACB30，AB，故选C.答案：C2一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析：如图，依
2、题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)答案：C3如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC.a kmD2a km解析：利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.答案：B4一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40方向直线航行，30 min 后到达B处，在
3、C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 n mile B10 n mileC20 n mile D20 n mile解析：如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45.由正弦定理可得.BC10(n mile)答案：A5如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里/小时B20()海里/小时C20()海里/小时D20()海里/小时答案：B
4、6(2014重庆冲刺)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点的测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案：A二、填空题7(2014潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.答案：18如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.
5、已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米答案：509(2014沧州联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗答案：0.6三、解答题10甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此
6、时乙船行驶了多少海里？解析：如图，设甲船取北偏东角去追赶乙，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到C的时间相等都为t，则BCvt，ACvt，ABC120.由余弦定理可知AC2AB2BC22ABBCcos120，即3v2t2a2v2t2vat，2v2t2vata20，t1，t2(舍去)，BCa，CAB30，60CAB30，甲船应取北偏东30的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇11如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走
7、到了A用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)解析：方法一：设该扇形的半径为r米由题意，得CD500(米)，DA300(米)，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445(米)答：该扇形的半径OA的长约为445米方法二：连结AC，作OHAC，交AC于H.由题意，得CD500(米)，AD300(米)，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos1205002300225003007002.AC700(米)，cosCAD.在直角HAO中，AH350(米)，cosH
8、AO，OA445(米)答：该扇形的半径OA的长约为445米12某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇的航行距离为S海里如图所示，在AOB中应用余弦定理得，S.故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v29004002675.由于0t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时(3)由(2)知v2900，设u(u0)，于是400u2600u900v20.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：解得15v30.所以v的取值范围是(15，30)