1、山西省太原五中2014-2015学年高二下学期段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2数列1，3，6，10，15，的递推公式是（）ABCD3已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca4用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设没有一个钝角C假设至少有两个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角5某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）
2、A24B22C20D126平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）ABCD7e|x|dx的值等于（）Ae4e2Be4+e2Ce4+e22De4+e228已知ABC中，A=30，B=60，求证ab证明：A=30，B=60，AB，ab，画线部分是演绎推理的是（）A大前提B小前提C结论D三段论9给出以下命题：（1）若，则f（x）0； （2）；（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A1B2C3D010若复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，则的虚部为（）A
3、BCD11某个命题与自然数n有关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，该命题不成立D当n=4时，该命题成立12ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”白蚂蚁爬行的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*），设黑白蚂蚁都爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）AB1C0D二、填空
4、题（共4小题，每小题4分，满分16分）13为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有种不同涂色方案（要求用具体数字作答）14|z+3+4i|2，则|z|的最大值为15已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x1，x2，xn（0，），则 sin（）（其中当 x1=x2=xn时等号成立）根据上述结论可知，在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为16若f（n）为n2+1（nN+）的各位数字之和，如142+1=197，a+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n），fk+1（n）=f（fk（n），kN+则f201
5、5（8）=三、解答题（共4小题，满分36分）17（1）求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积（画出图形）（2）已知a，b是正实数，求证：18六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站右端，也不站左端；（2）甲、乙站在两端；（3）甲不站左端，乙不站右端19当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明20已知函数在区间m，n上为增函数，且f（m）f（n）=4（1）当a=3时，求m，n的值；（2）当f（n）f（m）最小时，求a的值；若P（x1，y1），Q（x2，y2）（ax1x2n）是f（x）图象上的两
6、点，且存在实数x0使得，证明：x1x0x2山西省太原五中2014-2015学年高二下学期段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），从而得出结论解答：解：由于复数z=（2+i）i=1+2i，在复平面内对应点的坐标为（1，2），故复数z=（2+i）i在复平面内的对应点在第二象限，故选B点评：本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，
7、属于基础题2数列1，3，6，10，15，的递推公式是（）ABCD考点：数列递推式 专题：计算题分析：根据前几项的规律归纳出数列前几项的地、递推关系，从而可得解答：解：由题意可得，a1=1a2a1=2a3a2=3a4a3=4a5a4=5anan1=n故数列的地推公式为故选B点评：本题主要考察了数列的递推公式的应用，解题的关键是根据前几项的规律归纳出数列的关系3已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCcbaDbca考点：不等式的实际应用；不等式比较大小 专题：转化思想分析：根据 ，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，24的大小关系即可解答：解：，
8、a2b2c2abc故选C点评：此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大4用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A假设至少有一个钝角B假设没有一个钝角C假设至少有两个钝角D假设没有一个钝角或至少有两个钝角考点：反证法与放缩法 专题：应用题分析：根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论解答：解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角
9、，故选C点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口5某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A24B22C20D12考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：因为体育课不能排在第一、第四节，所以先排体育课，可以排第三、四节，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，由此能求出不同排法的种数解答：解：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2A33=12故选D点评：本题考查排列的简单计数问题，解题时要认真审题，注意有特殊要求的优
10、先排6平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）ABCD考点：类比推理 专题：规律型；空间位置关系与距离分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，在一个正四面体
11、中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=， BO=AO=aOE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故选B点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力7e|x|dx的值等于（）Ae4e2Be4+e2Ce4+e22De4+e22考点：定积分 专题：计算题分析：将24e|x|dx转化成=20e|x|dx+04e|x|dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可解答：解：24e|x|d
12、x=20e|x|dx+04e|x|dx=ex|20+ex|04=e4+e22故选C点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题8已知ABC中，A=30，B=60，求证ab证明：A=30，B=60，AB，ab，画线部分是演绎推理的是（）A大前提B小前提C结论D三段论考点：演绎推理的意义 专题：规律型；推理和证明分析：首先把求证：ab写成三段论形式，即可看出证明画线部分是演绎推理的小前提解答：解：“求证：ab”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：而A=30，B=60，则AB结论：所以ab故证明画线部分是演绎推理的小前提故选：B点
13、评：本题考查演绎推理的基本方法，考查证明函数的单调性，是一个基础题，这种问题经常见到，我们做题的时候也经常用到，注意这种方法9给出以下命题：（1）若，则f（x）0； （2）；（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（）A1B2C3D0考点：命题的真假判断与应用；定积分 专题：应用题分析：（1）根据微积分基本定理，得出）baf（x）dx=F（b）F（a）0，可以看到与f（x）正负无关2）注意到sinx在0，2的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为0sinxdx+2（sinx）dx求解，判断（3）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（a+
14、T）=F（a），F（T）=F（0）判定解答：解：（1）由baf（x）dx=F（b）F（a）0，得F（b）F（a），未必f（x）0（1）错误（2）02|sinx|dx=0|sinx|dx+2|sinx|dx=0sinxdx+2（sinx）dx=（cosx）|0+cosx|2=1（1）+1（1）=4（2）正确（3）0af（x）dx=F（a）F（0），Ta+Tf（x）dx=F（a+T）F（T）=F（a）F（0），则；（3）正确正确命题的个数为2，故选B点评：本题考查微积分基本定理，微积分基本运算性质属于基础题型10若复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，则的虚部为（）ABCD考点：复数代数形
15、式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：由已知中复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a+bi（a，bR）的形式，即可得到的虚部解答：解：复数z=a21+（a+1）i（aR）是纯虚数，a21=0，且a+10故a=1则Z=2i=i故的虚部为故选A点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据已知条件，构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，是解答本题的关键11某个命题与自然数n有关，若n=k（kN*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该
16、命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时，该命题不成立B当n=6时，该命题成立C当n=4时，该命题不成立D当n=4时，该命题成立考点：数学归纳法 专题：计算题分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立，由此不难得到答案解答：解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立故选C点评：当P（n）对n=
17、k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对nk的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k1也不成立，由此类推，对nk的任意正整数均不成立12ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”白蚂蚁爬行的路线是AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*），设黑白蚂蚁都爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）AB1C0D考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 专题：计算题；空间位置关系与距
18、离分析：先根据题意，通过前几步爬行观察白蚂蚁与黑蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6再计算黑蚂蚁与白蚂蚁爬完2015段后，各自达哪个点顶点处，利用正方体的性质和棱长为1加以计算，即可得到此时它们的距离解答：解：由题意，可得白蚂蚁爬行路线为AA1A1D1D1C1C1CCBBA，即走过6段后又回到起点A，可以看作以6为周期，同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点A，以6为周期因此，白蚂蚁爬完2010段后回到A点，再爬5段：AA1A1D1D1C1C1CCB到达终点B，同理可得黑蚂蚁爬完2010段后到回到A点，再爬5段：ABBB1B1C1C1D1D1D到达的终点D正方体ABCDA1B1
19、C1D1的棱长为1，BD=，可得黑白二蚁走完第2015段后，它们的距离是故选：A点评：本题以一个创新例子为载体，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有18种不同涂色方案（要求用具体数字作答）考点：计数原理的应用 专题：计算题；分类讨论分析：本题是一个分步计数问题，首先给左上方一个涂色，有三种结果，再给最左下边的上面的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的同色，则右方的涂色，有两种结果；右上方，如果
20、与左下边的不同色，则右方的涂色，有1种结果，根据分步计数原理可求解答：解：由题意，首先给左上方一个涂色，有三种结果，再给最左下边的上面的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的同色，则右方的涂色，有两种结果，右上方，如果与左下边的不同色，则右方的涂色，有1种结果，根据分步计数原理得到共有32（2+1）=18种结果，故答案为18点评：本题考查分步计数原理，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，本题是一个基础题14|z+3+4i|2，则|z|的最大值为7考点：复数求模 专题：计算题；综合题；转化思想分析：|z+3+4i|2的几何意义是复平面内到点的距离是小于等于2的集合，然后
21、求|z|的最大值解答：解：由|z+3+4i|2，可知它的几何意义是：复平面内的点到点（3，4）的距离是小于等于2的集合，（3，4）到原点的距离是：5所以|z|的最大值为：5+2=7故答案为：7点评：本题考查复数求模，考查学生转化思想的应用，是中档题15已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x1，x2，xn（0，），则 sin（）（其中当 x1=x2=xn时等号成立）根据上述结论可知，在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为考点：三角函数的最值；归纳推理 专题：计算题分析：利用正弦函数的性质可得：sin ，变形得 sinA+sinB+sinC3sin 利用特殊三角函数值求得问题答案解
22、答：解：已知正弦函数y=sinx具有如下性质：若x1，x2，xn（0，），则 sin（），且A、B、C（0，），sin ，即sinA+sinB+sinC3sin =，所以sinA+sinB+sinC的最大值为 故答案为：点评：本题主要考查三角函数的最值问题考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创造性解决问题的能力16若f（n）为n2+1（nN+）的各位数字之和，如142+1=197，a+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n），fk+1（n）=f（fk（n），kN+则f2015（8）=5考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：先利用前几项找到
23、数列的特点或规律，fn（8）是以3为周期的循环数列，再求f2015（8）即可解答：解：由82+1=65得f（8）=5+6=11，112+1=122得f（11）=1+2+2=5，52+1=26得f（5）=2+6=8fn（8）是以3为周期的周期数列，又2015=3671+2，故f2015（8）=f2（8）=f（11）=5故答案为：5点评：本题考查了新定义型的题关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题根据条件求出fn（8）是以3为周期的周期数列是解决本题的关键三、解答题（共4小题，满分36分）17（1）求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积（画出图形）（2）已
24、知a，b是正实数，求证：考点：定积分在求面积中的应用 专题：导数的概念及应用；推理和证明分析：（1）作出对应的图形，利用积分进行求解即可（2）由a，b是正实数，利用作差法得=0，即可证得结论解答：解：（1）将y=3x代入y=x2+2得x23x+2=0，解得x=1或x=2，即A（2，6），B（1，3），则对应阴影部分的面积S=+=（x3+2xx2）|+（x2x3+2x）|=+2+2223+22（+2）=5（2）证明：a，b是正实数，=0，成立点评：本题主要考查定积分在求面积的应用以及不等式的证明，要求熟练掌握常见函数的积分公式18六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站右端，
25、也不站左端；（2）甲、乙站在两端；（3）甲不站左端，乙不站右端考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；排列组合分析：（1）根据题意，分2步进行分析：1、先分析甲的站法，2、将剩余的5个人全排列，安排在其余的5个位置，进而由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：1、先分析甲、乙的站法，2、将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，进而由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：1、甲在右端，将剩余的5个人全排列，安排在其余的5个位置，2、甲不在右端，即甲在中间，先排甲、乙，有4种方法，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，由分步计数原理计算可得答案
26、解答：解：（1）根据题意，分2步进行分析：1、由于甲不站右端，也不站左端，故甲站在中间4个位置中的一个，有4种选法，2、将剩余的5个人全排列，安排在其余的5个位置，有A55=120种情况，则共有4120=480种不同的站法；（2）根据题意，分2步进行分析：1、由于甲、乙站在两端，则甲乙有2种站法，即甲在左端乙在右端或甲在右端乙在左端，2、将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有A44=24种情况，则共有224=48种不同的站法；（3）根据题意，分2种情况讨论：1、甲在右端，将剩余的5个人全排列，安排在其余的5个位置，有A55=120种情况，2、甲不在右端，即甲在中间，先排甲，有4种方法，
27、再排乙，有4种方法，最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有A44=24种情况，则此时有4424=384种不同的站法；则共有120+384=504种不同的站法点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义注意分类讨论此处容易遗漏出错，做题时切记19当nN*时，Tn=+（）求S1，S2，T1，T2；（）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明考点：数学归纳法；数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；（）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，验证n=1时猜
28、想成立；假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可解答：解：（）当nN*时，Tn=+S1=1=，S2=1+=，T1=，T2=+=（）猜想：Sn=Tn（nN*），即：1+=+（nN*）下面用数学归纳法证明：当n=1时，已证S1=T1假设n=k时，Sk=Tk（k1，kN*），即：1+=+则：Sk+1=Sk+=Tk+=+=+（）=+=Tk+1，由，可知，对任意nN*，Sn=Tn都成立点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力20已知函数在区间m，n上为增函数，且f（m）f（n）=4（1）当a=3时，求m，n的值；（2）
29、当f（n）f（m）最小时，求a的值；若P（x1，y1），Q（x2，y2）（ax1x2n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0使得，证明：x1x0x2考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；压轴题分析：（1）已知函数在区间m，n上为增函数，先用导数求得当a=3时的所有单调区间，则有m，n为函数f（x）单调区间的子集（2）由，当且仅当f（n）=f（m）=2时等号成立求解先分别表示出和，再由，得到，再用作差法比较与的大小解答：解：（1）当a=3时，由，得或x=2，所以f（x）在上为增函数，在，（2，+）上为减函数，由题意知，且因为，所以，可知（2）因为，当且仅当f（n）=f（m）=2时等号成立由，有a=2（n1）20，得a0；由，有a=2（m+1）20，得a0；故f（n）f（m）取得最小值时，a=0，n=1此时，由知，欲证x1x0x2，先比较与的大小=因为0x1x21，所以0x1x21，有x1（2x1x2）+x20，于是（x1x2）x1（2x1x2）+x20，即，另一方面，因为0x12x12x021，所以3+x12+x02x12x020，从而x12x020，即x1|x0|同理可证x0x2，因此x1|x0|x2点评：本题主要考查导数在研究单调性，求最值，比较大小中的应用