1、2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意）1高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A30B31C32D332设x，yR，则“x1且y1”是“x2+y22”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件3设Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（）A5B7C9D114在区间0，1上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y”的
2、概率，则P=（）ABCD5如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A22B46C94D1906如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（）ABC14D7已知F1、F2是椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b=（）A3B6C3D28直线xy+3=0被圆x2+y2+4x4y+6=0截得的弦长等于（）A2BCD9已知变量x，y满足，则z=xy的取值范围是（）A2，1B2，0C0，D2，10如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面
3、积为（）A4B4C4D811在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（0，2），若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（）A（1，1）B1，1C（21，21）D21，2112若以F1（3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线y=x1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（）ABCD二、填空题（每小题5分，4小题共20分）13在ABC中，A=75，C=60，c=1，则边b的长为14已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为15某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学
4、成绩（均为整数）分成六段：40，50），50，60），90，100后得到频率分布直方图（如图所示）则分数在70，80）内的人数是16椭圆+=1（a为定值，且a）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）17已知命题p：x24x50，命题q：x22x+1m20（m0）（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，pq为真命题，pq为假命题，求实数x的取值范围18某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级若S4，则该
5、产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率19已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上（1）
6、求椭圆C的方程；（2）斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|20ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长21设数列an的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an1（nN*）（1）求a1的值，并用an1表示an；（2）求数列an的通项公式；（3）设Tn=+，求证：Tn22已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=（I）求椭圆E的方程；（）是否存在
7、m，使+=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由2016-2017学年云南省昭通市云天化中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意）1高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A30B31C32D33【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么【解答】解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是=14，且第一组抽出的学号为4，那么每组抽出的
8、学号为4+14（n1），其中n=1、2、3、4；所以第二组抽取的学号为4+142=32故选C2设x，yR，则“x1且y1”是“x2+y22”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若x1且y1，则x21，y21，所以x2+y22，故充分性成立，若x2+y22，不妨设x=3，y=0满足x2+y22，但x1且y1不成立所以“x1且y1”是“x2+y22”的充分不必要条件故选B3设Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a3+a4=3，则S5=（）A5B7C9D11【考点
9、】等差数列的前n项和【分析】由题意和等差数列的性质可得a3，再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3，代值计算可得【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，a2+a3+a4=3，3a3=a2+a3+a4=3，即a3=1，S5=5a3=5，故选：A4在区间0，1上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y”的概率，则P=（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意可得总的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，事件P包含的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，x+y，数形结合可得【解答】解：由题意可得总的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，事件P包含的基本事件为（x，y）|0x1，0y1，x+y，
10、它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形，故所求概率P=，故选：D5如果执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A22B46C94D190【考点】循环结构；设计程序框图解决实际问题【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 10 是第三圈 4 22 是第四圈 5 46 是第五圈 6 94 否故输入的S值为94故选C6如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员
11、这5场比赛得分的平均数不可能为（）ABC14D【考点】茎叶图；等差数列的通项公式【分析】设每天增加的数量为x尺，利用等差数列的通项公式与前n项公式列出方程求出x的值【解答】解：设每天增加的数量为x尺，则一个月织布尺数依次构成等差数列如下：5，5+x，5+2x，5+29x，由等差数列前n项公式得，解得故选：B7已知F1、F2是椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b=（）A3B6C3D2【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，利用及PF1F2的面积为9列式求得|PF1|PF2|=18再由勾股定理及椭圆定义即可求得b【解答】解：如图，PF1F2
12、为直角三角形，又PF1F2的面积为9，得|PF1|PF2|=18在RtPF1F2中，由勾股定理得：，即2（a2c2）=|PF1|PF2|=18，得b2=a2c2=9，b=3故选：A8直线xy+3=0被圆x2+y2+4x4y+6=0截得的弦长等于（）A2BCD【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长【解答】解：圆的方程化为（x+2）2+（y2）2=2，圆心（2，2），半径r=，圆心到直线xy+3=0的距离d=，直线被圆截得的弦长为2=故选B9已知变量x，y满足，则z=xy的取值范围
13、是（）A2，1B2，0C0，D2，【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=xy得y=xz，平移直线y=xz由图象可知当直线y=xz经过点A时，直线y=xz的截距最大，由，解得A（1，3）此时z最小为z=13=2，当直线y=xz，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），直线y=xz的截距最小，此时z最大为： =，z的范围为：2，故选：D10如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）A4B4C4D8【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出直观图，根据三视图
14、数据计算各个表面的面积比较得出【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然SPCDSABC由三视图特征可知PA平面ABC，DB平面ABC，ABAC，PA=AB=AC=4，DB=2，BC=4，SABC=8，SPAC=8，SBCD=4S梯形PABD=12BCD的面积最小故选B11在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（0，2），若直线l上存在点M满足|MA|2+|MO|2=10（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（）A（1，1）B1，1C（21，21）D21，21【考点】两点间距离公式的应用【分析】设M（x，xa），由已知条件利用两点间距离公式得x2+（xa）2+x2
15、+（xa2）2=10，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围【解答】解：设M（x，xa），直线l：x+y+a=0，点A（0，2），直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，x2+（x+a）2+x2+（xa2）2=10，整理，得4x2+2（2a+2）x+a2+（a+2）210=0，直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，方程有解，=4（2a+2）216a2+（a+2）2100，解得：21a21，故选：D12若以F1（3，0），F2（3，0）为焦点的双曲线与直线y=x1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】根据e=，可得a越大e越
16、小，而双曲线与直线相切时，a最大，将直线方程与双曲线方程联立，即可求得结论【解答】解：由题意，c=3，e=，a越大e越小，而双曲线与直线相切时，a最大设双曲线为=1，把直线y=x1代入，化简整理可得（92m）x2+2mx10m+m2=0由=0，解得：m=5，于是a=，e=故选：B二、填空题（每小题5分，4小题共20分）13在ABC中，A=75，C=60，c=1，则边b的长为【考点】余弦定理【分析】由已知及三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理可求b的值【解答】解：A=75，C=60，c=1，B=180AC=45，由正弦定理可得：b=故答案为：14已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线过点，
17、且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线结果的点，可得a，b关系式，利用焦点坐标求出c，然后求解a，b即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线（a0，b0）的一条渐近线过点，可得2b=，双曲线的一个焦点为，可得c=，即a2+b2=7，解得a=2，b=，所求的椭圆方程为：故答案为：15某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：40，50），50，60），90，100后得到频率分布直方图（如图所示）则分数在70，80）内的人数是30【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图得分数在70，80）内的频率等于
18、1减去得分在40，70与80，100内的频率，再根据频数=频率样本容量得出结果【解答】解：由题意，分数在70，80）内的频率为：1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）10=10.7=0.3则分数在70，80）内的人数是0.3100=30人； 故答案为：3016椭圆+=1（a为定值，且a）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的右焦点E如图：由椭圆的定义得：FAB的周长为
19、：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当AB过点E时取等号；FAB的周长：AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；FAB的周长的最大值是4a=12a=3；e=故答案：三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）17已知命题p：x24x50，命题q：x22x+1m20（m0）（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，pq为真命题，pq为假命题，求实数x的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（1）求出命题p，q成立时的x的范围
20、，利用充分条件列出不等式求解即可（2）利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可【解答】解：（1）对于p：A=1，5，对于q：B=1m，1+m，p是q的充分条件，可得AB，m4，+）（2）m=5，如果p真：A=1，5，如果q真：B=4，6，pq为真命题，pq为假命题，可得p，q一阵一假，若p真q假，则无解；若p假q真，则x4，1）（5，618某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2
21、）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】（1）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（2）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；列出在取出的2件产品中，每件产品的综
22、合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）计算10件产品的综合指标S，如下表产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率P=0.6，从而可估计该批产品的一等品率约为0.6（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：（A1，A2），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A7），（A1，A9），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A7），（A2，A9），（A4，A5），（A4，A7），（A4，A9），（A5，A7），（A5，A9），（A7，
23、A9），共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为：（A1，A2），（A1，A5），（A1，A7），（A2，A5），（A2，A7），（A5，A7），共6种所以P（B）=19已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求|AB|【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程（2）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB坐标，求出线段的长度即
24、可【解答】解：（1）因为C的焦点在x轴上且长轴长为4，故可设椭圆C的方程为： +=1（2b0），因为点（1，）在椭圆C上，所以+=1，解得b2=1，椭圆C的方程为（2）由题意直线l的斜率是1，过（，0），故直线l的方程是：y=x，由，得：5x28x+8=0，故x1+x2=，x1x2=，故|AB|=|x1x2|=20ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长【考点】解三角形【分析】（）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即
25、可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求ABC的周长【解答】解：（）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，sinC0，sin（A+B）=sinCcosC=，又0C，C=；（）由余弦定理得7=a2+b22ab，（a+b）23ab=7，S=absinC=ab=，ab=6，（a+b）218=7，a+b=5，ABC的周长为5+21设数列an的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an1（nN*）（1）求a1的值，并用an1表示an；（2）求数列an
26、的通项公式；（3）设Tn=+，求证：Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）首先利用赋值法求出数列的首项，进一步建立数列an1和an间的联系；（2）利用叠乘法求出数列的通项公式（3）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结果【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn，且2Sn=（n+2）an1（nN*）令n=1时，2S1=3a11，解得：a1=1由于：2Sn=（n+2）an1所以：2Sn+1=（n+3）an+11得：2an+1=（n+3）an+1（n+2）an，整理得：，则：，即：（2）由于：，则：，利用叠乘法把上面的（n1）个式子相乘得：，即：当n=1时，a1=1符合上式，
27、所以数列的通项公式是：（3）证明：由于：，所以：，则： =2（），所以：+=+）=2（）=22已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=（I）求椭圆E的方程；（）是否存在m，使+=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（ab0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）运用向量的加减运算，可得=3，由题意可得P（0，m），且2m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
28、运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2=1+，再由不等式的性质，可得所求范围【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得e=，4=4，a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（）=，可得=（），+=（1+），由+=4，可得=3，由题意可得P（0，m），且2m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得x1=3x2，由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m24=0，即有x1+x2=，x1x2=，由可得m2=1+，由1+k21，可得03，即有1m24，由于m（2，2），当m=0时，O，P重合，=1显然成立可得m的取值范围是（2，1）（1，2）02017年4月22日
