1、知识点一 空间两直线的位置关系1空间中两条直线的位置关系2异面直线(1)定义：把不同在_平面内的两条直线叫作异面直线(2)画法：(通常用平面衬托)任一1异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交，也不平行2不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有 a，b，即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因为 abO，所以 a 与 b 不是异面直线知识点二 平行公理与等角定理1平行公理(公理 4)与等角定理(1)平行公理文字表述：平行于同一条直线的两条直线_这一性质叫作空间_符号表述：abbc _.(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应_，那么这两个角_或
2、_平行平行公理ac平行相等互补2异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线aa，bb，我们把 a与 b所成的_(或_)叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)(2)范围：090.(3)当 _时，a 与 b 互相垂直，记作_.锐角直角90ab1异面直线所成角的范围是 0 90，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直2公理 4 也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用小试身手1判断下列命题是否正确.(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行
3、()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()2如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是()A共面 B平行C异面D平行或异面解析：由两条直线的位置关系，可知答案为 D.答案：D3设 为两条异面直线所成的角，则 满足()A090 B090C090 D0EH，所以四边形 EFGH 有一组对边平行但不相等由平面几何知识得到线线平行，用公理 4 进行转化类型二 等角定理及其应用例 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别为棱 AD，AB，B1C1，C1
4、D1 的中点求证：EA1FE1CF1.【证明】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，取 A1B1的中点 M，连接 BM，F1M，则 BFA1M.又BFA1M，四边形 A1FBM 为平行四边形，A1FBM.而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1.而 C1B1 綊 BC，F1M 綊 BC，四边形 F1MBC 为平行四边形BMCF1.又 BMA1F，A1FCF1.同理，取 A1D1 的中点 N，连接 DN，E1N，则有 A1ECE1.EA1F 与E1CF1 的两边分别对应平行，且方向都相反，EA1FE1CF1.要证明EA1FE1CF1，可证明 A1FC
5、F1，A1ECE1 且射线 A1E 与 CE1，射线 A1F 与 CF1 的方向分别相反方法归纳(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补(2)证明角相等，一般采用三种途径利用等角定理及推论；利用三角形相似；利用三角形全等跟踪训练 2 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，M，N，P 分别为 A1C1，AC 和 AB 的中点求证：PNA1BCM.证明：因为 P，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 PNBC.又因为 M
6、，N 分别为 A1C1，AC 的中点，所以 A1M 綊 NC.所以四边形 A1NCM 为平行四边形，于是 A1NMC.由及PNA1 与BCM 对应边方向相同，得PNA1BCM.利用空间等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两个角的两边分别对应平行；(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反类型三 求异面直线所成的角例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1的中点，求异面直线 DB1 与 EF 所成的角的大小【解析】方法一 如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG，A1G，C1G，则 OGB1D，EFA
7、1C1，GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)GA1GC1，O 为 A1C1 的中点，GOA1C1.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.方法二 如图所示，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE 綊12DB1，HEF 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)连接 HF，设 AA11，则 EF 22，HE 32，取 A1D1 的中点 I，连接 HI，IF，则 HIIF，HF2HI2IF254，HF2EF2HE2，HEF90.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.方法三：如图，连接 A1C1，分别取 AA1，CC1 的中点 M，N
8、，连接 MN.E，F 分别是 A1B1，B1C1 的中点，EFA1C1，又 MNA1C1，MNEF.连接 DM，B1N，MB1，DN，则 B1N 綊 DM，四边形 DMB1N 为平行四边形，MN 与 DB1 必相交，设交点为 P，则DPM 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)设 AA1k(k0)，则 MP 22 k，DM 52 k，DP 32 k，DM2DP2MP2，DPM90.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接 B1Q，易得 B1QEF，DB1Q 就是异面直线 DB1 与 EF 所成的角(或其补角)设
9、AA1k(k0)，则 B1D 3k，DQ 5k，B1Q 2k，B1D2B1Q2DQ2，DB1Q90.异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90.利用中位线作平行线，找出异面直线 DB1 与 EF 所成的角即可求解方法归纳 求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解跟踪训练 3 如图，P 是平面 ABC 外一点，PA4，BC2 5，D，E 分别为 PC，AB 的中点，且 DE3.求异面直线 PA 与 BC 所成的角的大小解析：如图，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF，在PAC 中，D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点，DFPA.同理可得 EFBC.DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角)在DEF 中，DE3，又 DF12PA2，EF12BC 5，DE2DF2EF2，DFE90，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90.平移 PA，BC 至一个三角形中 找出 PA 和 BC 所成的角 求出此角
