1、第7讲 空间中角与距离的计算 考纲要求考纲研读空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.1.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系2能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可
2、以“数到形”，注意数形结合.1异面直线所成的角锐角或直角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线a与b 所成的角，其范围是_(0，902直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于_.0(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是_(0，90)90斜线与平面所成的_是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_的角线面角小3二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二面角的棱上任意一点为端
3、点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_直二面角4点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离求点到平面的距离通常运用_，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的_等积法高5直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件1对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有OPxOAyOBzOC(x，y，zR)，则 xyz1 是 P，A，B，C 四点共面的()2正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1 的中点，
4、则 E 到平面 ABC1D1 的距离为()A.32 B.22 C.12 D.33BC3在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AC，BD 的中点，若 CD2AB4，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角为()A90B60C45D30D4已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.45或 1355如图 1371，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.105图 1371考点1 线面所成角的计算例1：如图 1372，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADD
5、E2AB，F 为 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值图 1372图D32解析：设 ADDE2AB2a，建立如图 D32 所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)F 为 CD 的中点，F32a，32 a，0.(1)AF 32a，32 a，0，BE(a，3a，a)，BC(2a,0，a)，AF 12(BE+BC)，AF平面 BCE，AF平面 BCE.(2)AF 32a，32 a，0，CD(a，3a,0)，ED(0,0，2a)，
6、AF CD0，AF ED0.AF CD，AF ED.AF平面 CDE，又 AF平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.(3)设平面 BCE 的法向量为 n(x，y，z)，由 nBE0，nBC0 可得：x 3yz0,2xz0，取 n(1，3，2)又BF 32a，32 a，a，设 BF 和平面 BCE 所成的角为，则 sin|BFn|BF|n|2a2a2 2 24.直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 24.求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连
7、接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角【互动探究】1(2010 年全国)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23 B.33 C.23D.63解析：因为 BB1DD1，所以 BB1 与平面 ACD1 所成角和 DD1与平面 ACD1 所成角相等，设 DO平面 ACD1，由等体积法得11DACDDACDVV，即131ACDSDO13SACDDD1.设 DD1a，
8、则1ACDS12ACAD1sin6012(2a)2 32 32 a2，SACD12ADCD12a2.所以 DOSACDDD11ACDS a33a2 33 a，记 DD1 与平面 ACD1 所成角为，则 sin DODD1 33.所以 cos 63.答案：D考点2 面面所成角的计算例 2：(2011 年全国)如图 1373，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为平行四边形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.图 1373(1)证明：PA BD；(2)若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值图D33解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD.从而 BD2AD2AB
9、2，故 BDAD；又 PD底面 ABCD，可得 BDPD.所以 BD平面 PAD.故 PABD.(2)解：如图 D33，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(1，3，0)，P(0,0,1)则 AB(1，3，0)，PB(0，3，1)，BC(1,0,0)设平面 PAB 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则nAB0，nPB0，即x1 3y10，3y1z10.因此可取 n(3，1，3)设平面 PBC 的法向量为 m(x2，y2，z2)，则mPB0，mBC0，即 3y2z20，x20.可取 m(0
10、，1，3)cosm，n 42 72 77，故二面角 APBC 的余弦值为2 77.求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三 垂线定理法；射影面积法 (2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小【互动探究】2(2011年江苏)如图1374，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二图 1374面角 A1DNM 的大小为.(1)当90时，求 AM 的长；(2)当 cos 66 时，求 CM 的长解：以 D 为原点，DA为 x 轴
11、正半轴，DC为 y 轴正半轴，1DD 为 z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N12，1，0，C(0,1,0)令 M(0,1，z)，则1DA(1,0,2)，DN(12，1,0)，DM(0,1，z)设平面 MDN 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 A1DN 的法向量为 n(x0，y0，z0)，则1DA n0，DN n0，x02z00，12x0y00.取 x02，则 y01，z01，即 n(2，1，1)(1)由题意得：DN n10，DM n10，nn10，12x1y10，y1zz10，2x1y1z10.取 x12，则 y11，z15，z15.AM10
12、20120152 515.(2)由题意：DN n10，DM n10，|nn1|n|n1|66，即12x1y10，y1zz10，3x214x1y14x1z12y1z10.取 x12，则 y11，z12，z12.CM12.考点3 立体几何中的综合问题 例3：如图 1375，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到平面SBC 的距离图 1375图 1376解析：方法一：如图1376，作ADBC 交BC延长线于D，连接SD.SA平面 ABC，SABC，又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC
13、平面SADSD.过点A 作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面SBC.于是AH 即为点A 到平面 SBC 的距离在 Rt SAD 中，SA3a，ADABsin60 3a，AHSAADSA2AD23a 3a(3a)2(3a)232a，即点 A 到平面 SBC 的距离为32a.方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，VSABCVASBC，13SAS ABC13hS SBC，其中 SA3a.在 ABC 中，AC AB2BC22ABBCcosABC4a24a224a212 2 3a，S ABC12ABBCsinABC122a2a 32 3a2.在 SBC 中，SB SA2AB2
14、 13a，BC2a，SC SA2AC2 21a.cosSBC13a24a221a22 13a2a 113，sinSBC1 1132 3913.S SBC12SBBCsinSBC12 13a2a2 3913 2 3a2，于是 hSAS ABCS SBC 3a 3a22 3a232a.方法三：如图1377，以 A 为坐标原点，以AC，AS 所在直线为y 轴，z 轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为x 轴建立空间直角坐标系图1377ABC 中，ABBC2a，ABC120，AC AB2BC22ABBCcosABC2 3a.于是 A(0,0,0)，B(a，3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,
15、3a)设平面 SBC 的一个法向量 n(x，y，z)由 nSB、nSC及SB(a，3a，3a)，SC(0,2 3a，3a)，可得nSBax 3ay3az0，nSC02 3ay3az0，即x 3y3z0，2 3y3z0.不妨取 n(3，3，2)，设 A 到平面 SBC 的距离为 d，则 d|ASn|n|006a|93432a.求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方向上的射影长，此射影长即为所求点面距【互动探究】3在长方体 ABCDA1B1C1D1
16、中，ABBC2，过A1，C1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图 1378 所示的几何体 ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为 10.图 1378(1)求棱A1A的长；(2)求点 D 到平面 A1BC1的距离解：(1)设 A1Ah，由题设111ABCDAC DV1111ABCDA B C DV111BA B CV 10，得 SABCDh13111A B CSh10，即 22h131222h10，解得 h3.故 A1A 的长为 3.(2)以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系由已知及(1)，可知 D(0,0,0)，A
17、1(2,0,3)，B(2,2,0)，C1(0,2,3)设平面 A1BC1 的法向量为 n(u，v，w)，有 n1A B，n1C B，其中1A B(0,2，3)，1C B(2,0，3)，则有 nA1B 0，nC1B 0，即2v3w0，2u3w0.解得 v32w，u32w，取 w2，得平面的一个法向量 n(3,3,2)，且|n|22.在平面 A1BC1 上取点 C1，可得向量1DC(0,2,3)，于是点 D 到平面 A1BC1 的距离 d|nD1C|n|6 2211.考点4 求二面角 例4：如图 1379，四边形ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中
18、点，圆柱OQ的底面圆的半径 OA2，侧面积为 8 ，AOP120.(1)求证：AGBD；(2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值图 13793解析：(1)方法一：由题意可知 8 322AD，解得 AD2 3.在 AOP 中，AP 2222222cos1202 3，ADAP.又G 是 DP 的中点，AGDP.AB 为圆 O 的直径，APBP.由已知知 DA底面 ABP，DABP，BP平面 DAP.BPAG.由可知：AG平面 DPB，AGBD.(2)由(1)知：AG平面 DPB，AGBG，AGPG，PGB 是二面角 PAGB 的平面角.PG12PD12 2AP 6，BPOP2，BPG90.BG
19、PG2BP2 10.cosPGBPGBG610 155.图13710方法二：建立如图 13710 所示的空间直角坐标系，由题意可知 8 322AD，解得 AD2 3.则 A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0,0,2 3)，P(3，3,0)G 是 DP 的中点，可求得 G32，32，3.(1)BP(3，1,0)，BD(0，4,2 3)，AG32，32，3.AGBD32，32，3(0，4,2 3)0，AGBD.(2)由(1)知，BP(3，1,0)，AG32，32，3，PG 32，32，3，BG32，52，3.BPPG0，AGBP0.BP是平面 APG 的法向量设 n(x，y,1)是平面 AB
20、G 的法向量，由 n AG0，n AB0，解得 n(2,0,1)cos BPn|BP|n|2 32 5 155.二面角 PAGB 的平面角的余弦值 155.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力1利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确
21、地解决问题2(1)设直线 l，m 的方向向量分别为 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，平面，的法向量分别为 m(a1，b1，c1)，n(a2，b2，c2)，则直线 l，m 的夹角 02，有 cos|x1x2y1y2z1z2|x21y21z21 x22y22z22；直线 l 与平面 的夹角 02，有 sin|am|a|m|cosa，m；平面，的夹角(0),有|cos|mn|m|n|cosm，n|；(2)求空间距离：直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离，点 P 到平面 的距离：d|PM m|m|(其中m 为平面 的法向量，M 为 内任一点)立体几何中，处理空间的角和距离的问题主要掌握两种方法：传统方法和向量方法传统方法需要较高的空间想象能力，需要深刻理解角和距离的定义，灵活运用空间的平行和垂直的定理和性质；向量方法必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧；法向量的应用对处理角和距离的重要性；怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点总而言之，两种方法各有千秋，同学们在解题过程中需灵活选用