1、（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（四）理注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（ ）ABCD2集合，则集合与的关系是（ ）ABCD且
2、3下列关于命题的说法中正确的是（ ）对于命题，使得，则，均有“”是“”的充分不必要条件命题“若，则”的逆否命题是“若，则”若为假命题，则均为假命题ABCD4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A2048B1024C2046D40945函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（ ）A的最小正周期为B的图象关于直线对称C在区间上单调递增D的图象关于点对称6已知数列满足，则数列的前项和（ ）ABCD7已知是不等式组的表示的平面区域内的一点，为坐标原点，则的最大值（ ）A2B3C5D68甲乙丙三人手持黑白两色棋子，在3行8列的网格中，三人同时从左到右，从1号位置摆
3、到8号位置，若甲的1号位置与乙的1号位置颜色相同，称甲乙对应位置相同，反之称甲乙对应位置不同，则下列情况可能的是（ ）A甲乙丙相互有3个对应位置不同B甲乙丙互相不可能有4个对应位置不同C甲乙1个位置不同，甲丙3个位置不同，乙丙5个位置不同D甲乙3个位置不同，甲丙4个位置不同，乙丙5个位置不同9已知实数、满足，的取值范围是（ ）ABCD10已知是定义在上的增函数，若对于任意，均有，则不等式的解集为（ ）ABCD11已知函数，若方程有4个不同的实数根，（），则的取值范围是（ ）ABCD12已知直三棱柱的侧棱长为，过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4
4、小题，每小题5分13若，则的展开式中常数项为_14小张计划从个沿海城市和个内陆城市中随机选择个去旅游，则他至少选择个沿海城市的概率是_15已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为_16在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列满足（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为若，(为偶数)，求的值18（12分）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，
5、求二面角平面角的余弦值19（12分）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令
6、，则，且（）利用直方图得到的正态分布，求；（）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到）以及的数学期望参考数据：，若，则20（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的方程；（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围21（12分）设，其中，且（1）试讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为（1）求曲线的普通方程和直线的参数方程；（2）设与的两个
7、交点为，求23（10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；（2）若，求的最大值理 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】因为，所以，故选C2【答案】D【解析】因为，且，所以且，故选D3【答案】A【解析】对于命题，使得，则均有，故正确；由“”可推得“”，反之由“”可能推出，则“”是“”的充分不必要条件，故正确；命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故正确；若为假命题，则，至少有一个为假命题，故错误，则正确的命题的有，故选A4【答案】C【解析】，运行第1次，运行第2次，
8、运行第9次，运行第10次，结束循环，故输出的值2046，故选C5【答案】C【解析】因为其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为，故A正确；当时，所以的图象关于直线对称，故B正确；当时，所以在间上不单调，故C错误；当时，所以函数的图象关于点对称，故D正确，故选C6【答案】A【解析】由题意可得，两式相减得，两式相加得，故，故选A7【答案】D【解析】由题意可知，令目标函数，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，最大值为，故选D8【答案】D【解析】对A，若甲乙有3个对应位置不同，不妨设前3个对应位置不同，则后5个对应位置相同，若丙和甲、丙和乙都
9、要有3个对应位置不同，则只能在后5个对应位置中有3个和甲乙不同，若丙和甲在后5个对应位置中有3个对应位置不同，则必和乙有6个位置不同，故A错误；对B，若甲和乙前4个对应位置不同，乙和丙后4个对应位置不同，则甲和丙后4个对应位置也不同，故存在，所以B错误；对C，若甲乙第1个位置不同，后7个位置相同，甲丙在后7个位置中有3个位置不同，此时乙丙最多有4个位置不同，故C错误；对D，若甲乙前3个位置不同，甲丙第3个到第6个位置不同，则成立，故D正确，故选D9【答案】B【解析】如图所示：设为圆上的任意一点，则点P到直线的距离为，点P到原点的距离为，所以，设圆与直线相切，则，解得，所以的最小值为，最大值为，
10、所以，所以，故选B10【答案】A【解析】根据，可得，由，可得，则，又是定义在上的增函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故选A11【答案】D【解析】作出，的大致图象如图所示，可知，的图象都关于直线对称，可得，由，得，则，所以设，则，所以在上单调递增，所以的取值范围是，故选D12【答案】C【解析】如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，为的中点，则，平面，平面，平面，、分别为、的中点，则且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即为平面，设平面交于点，在直棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边
11、形，平面，平面，平面，设平面平面，平面，所以，所以，四边形为平行四边形，可得，所以，为的中点，延长交于点，所以，又，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，为的中点，则，为的中点，则，同理，因为直棱柱的棱长为，为的中点，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，、分别为、的中点，则，由勾股定理可得，同理因此，截面的周长为，故选C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】240【解析】，展开式的通项公式为，令，即的展开式中，常数项是，故答案为24014【答案】【解析】由题不选沿海城市的方法有种，从9个城市任意选2个城市有种，所以所求概率，故答案为15【答案】【解析】设
12、抛物线的方程为，由题得，代入椭圆的方程得，所以，所以，所以，因为，所以，故答案为16【答案】【解析】，令，则，故，故，又，故，当且仅当满足时，等号成立，此时，故的最大值为，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以，即，解得，所以经检验，符合题设，所以数列的通项公式为（2）由（1）得，所以，因为，所以，即因为为偶数，所以18【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，平面，平面，又平面，在中，为的中点，（2）连接，则与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原
13、点，过点作垂直于直线为轴，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量分别是，由，得，取，得，设直线与平面所成角为，由，化简得，解得，设平面的法向量分别是，由，得，取，得，由图象可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为19【答案】（1），；（2）（），（），【解析】（1）（2）（）由题知，所以，所以（）由（）知，可得，故的数学期望20【答案】（1）；（2）【解析】（1），又椭圆过点，椭圆的方程（2）当矩形的四条边与椭圆相切于顶点时，易知；当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为，则其对边所在的直线方程为，另外两边所在的直线方
14、程分别为，联立，消去并整理可得，由题意可得，整理可得，同理可得，设两平行直线与之间的距离为，则，设两平行直线与之间的距离为，则，依题意可知，为矩形的两邻边的长度，所以矩形的面积，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，综上所述：该矩形面积的取值范围为21【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，由，得，即定义域为；当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得，即定义域为；当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由，得，即，设，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上恒成立，；设，则，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，即实数的取值范围为22【答案】（1），（为参数）；（2）【解析】（1）由，得，由，得，所以，代入，整理可得，所以曲线的普通方程为直线的参数方程为（为参数）（2）代入，得，所以，设对应的参数分别为，则，所以23【答案】（1）；（2）3【解析】（1），则当时，为常函数（2）由柯西不等式得，所以，当且仅当，即，时，取最大值，因此的最大值为3