1、25向量的应用1.了解平面向量在处理数学问题中的工具性作用2.理解用向量方法解决有关几何问题、物理问题及实际问题的一般思路3.掌握用向量方法解决实际问题的步骤“三步曲”1用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2向量在物理学中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()(2)若ABC为直角三角形，则有0.()(3)若向量，则ABCD(
2、)解析：(1)正确物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解(2)错误因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或C为直角(3)错误向量时，直线ABCD或AB，CD重合答案：(1)(2)(3)2若向量(2，2)，(2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(0，5)B(4，1)C2D5解析：选DF1F2(2，2)(2，3)(0，5)，所以|F1F2|5.3力F(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为s(3，4)，则力F对质点P做的功是_解析：因为WFs(1，2)(3，4)11，则力F对质点P做的功是11.答案：11
3、4若3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_解析：由3e，5e，得，又因为ABCD为四边形，所以ABDC，ABDC又|，得ADBC，所以四边形ABCD为等腰梯形答案：等腰梯形向量在几何中的应用如图所示，点O为ABC的外心，以、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.(1)若a，b，c，h，用a、b、c表示h；(2)证明；(3)若ABC中BAC60，ABC45，外接圆的半径为R，用R表示|h|.【解】(1)由向量加法的平行四边形法则可得ab，abc，所以habc.(2)证明：因为点O是ABC的外心，所以|，即|a|b|c|.而habc，bc，
4、所以(bc)(bc)|b|2|c|20.所以.(3)在ABC中，O是外心，BAC60，ABC45，所以BOC120，AOC90.于是AOB150.|h|2hh(abc)(abc)|a|2|b|2|c|22ab2ac2bc3R22|a|b|cos 1502|a|c|cos 902|b|c|cos 1203R2R2R2(2)R2.所以|h|R.用平面向量法求解几何问题的两种思路(1)基向量法：选择适当的平面向量为已知向量或基向量，将其他向量用已知向量或基向量表示出来，利用向量运算的几何意义通过运算来解决(2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，将所需要的向量用坐标表示，利用向量的坐标运算法则来解决
5、1.(1)如图，在ABCD中，E，F在对角线BD上，且BEFD，则四边形AECF的形状是_(2)设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用向量证明：PQAB解：(1)由已知可设a，b，故ab，ba.又abba，则，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF是平行四边形故填平行四边形(2)证明：设(0)，因为()()()()()(1)，所以，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQAB向量在物理中的应用(1)河水从东向西流，流速为2 km/h，一艘船以2 km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是_(2)已知两个力f1(1，2)，f2(4，5)(单位：牛顿)作用于同一质点
6、，此质点在这两个力的共同作用下，由A(7，0)移动到B(20，15)(单位：米)，试求：f1，f2分别对质点所做的功；求f1，f2的合力对质点所做的功【解】(1)由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度则|2，|2，AOB90，所以|4，所以船实际速度的大小为4 km/h.故填4 km/h.(2)因为A(7，0)，B(20，15)，所以(13，15)，所以W1f1(1，2)(13，15)11321543，W2f2(4，5)(13，15)413(5)1523.所以f1，f2所做的功分别为43焦和23焦ff1f2(5，3)，Wf(5，3)(13，15)513(3)152
7、0.所以f1和f2的合力所做的功为20焦用向量方法解决物理问题的“三步曲” 2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|、|F2|随角的变化而变化的情况；(2)当|F1|2|G|时，角的取值范围解：(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：GF1F2，根据直角三角形可得|F1|，|F2|G|tan .当从0趋向于90时，|F1|、|F2|皆逐渐增大(2)由|F1|2|G|，得cos ，则060.向量在解析几何中的应用已知A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)(1)求证：ABAD；(2)若使四边形ABC
8、D是矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值【解】(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，所以(1，1)，(3，3)，所以1(3)130，所以，即ABAD(2)设点C的坐标为(x，y)因为四边形ABCD为矩形，所以，所以(3，3)(x3，y2)，所以解得所以点C的坐标为(0，5)，所以(2，4)因为(4，2)，所以(4)(2)2416.因为|2，|2，所以与的夹角的余弦值为.故该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值为.(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段用向量表示，再利用向量的运算法则进行运算(2)要掌握向量的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量
9、相等则对应坐标相等等 3.已知直线l过点A(1，1)，且垂直于向量n(2，1)(1)求直线l的一般方程；(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2，0)，求l1的一般方程解：(1)因为直线l垂直于向量n(2，1)，所以直线l的一个方向向量为v(1，2)，所以直线l的斜率为2，所以直线l的点斜式方程为y12(x1)，整理得2xy10.故直线l的一般方程为2xy10.(2)因为直线l1与l垂直，所以l1的一个方向向量v0(2，1)，所以直线l1的斜率为，所以直线l1的点斜式方程为y0(x2)，整理得x2y20.故直线l1的一般方程为x2y20.1向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两
10、线段相等，如ABCD，则可转化为证明：22.(2)要证明两线段平行，如ABCD，则只需证明：存在实数0，使成立，且AB与CD无公共点(3)要证明两线段垂直，如ABCD，则可转化为证明数量积0.(4)要证明A，B，C三点共线，只需证明存在一实数0，使.(5)要求一个角，如ABC，只需求向量与向量的夹角即可2向量在物理中应用时要注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识力、速度、加速度和位移都是向量；力、速度、加速度和位移的合成和分解就是
11、向量的加、减法；动量mv是数乘向量；功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小【解】依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地v风车v车地，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ACDB的对角线因为|4，ACD30，|2，所以ADC90.在RtADC中，|cos 302.即风
12、向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.(1)因为不能正确地用平面向量把这个物理问题表示出来，造成了对题目束手无策；故我们要掌握相关的物理知识(2)用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；利用这个结果，对原物理现象作出解释1河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/sB2 m/sC4 m/sD12 m/s解析：选B由题意知|v水|
13、2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如图所以小船在静水中的速度大小|v|2(m/s)2过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线为_解析：设P(x，y)为直线上一点，则a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.答案：2xy703已知作用在点A(1，1)的三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3，1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是_解析：F(8，0)，故终点坐标为(8，0)(1，1)(9，1)答案：(9，1)4.如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则()min_解析：取AB的中点D，连结CD、CP(图略)，设、的夹角为.所以()
14、()()2(2)22176cos ，当cos 1时，取得最小值1.答案：1学生用书P113(单独成册)A基础达标1已知平面内四边形ABCD和点O，若a，b，c，d，且acbd，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形D平行四边形解析：选D由题意知abdc，所以，所以四边形ABCD为平行四边形故选D2如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a km，则()As|a|Bs|a|Cs|a|Ds与|a|不能比较大小解析：选A物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s500，由位移的合成易得|a|a|.3一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而
15、处于平衡状态已知F1与F2的夹角为60，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为()A6 NB2 NC2 ND2 N解析：选D由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2|F1F2|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 60224222428，所以|F3|2 N.4在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为()A1B2C3D4解析：选B因为，所以222，即21，所以|2，即AC2.5在ABC中，有下列四个命题：；0；若()()0，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形其中正确的命题有()ABCD解析：选C因为，所以错误.0，所以正确由()()22
16、0，得|，所以ABC为等腰三角形，正确.0cos A0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定ABC是否为锐角三角形，所以错误故选C6已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|，则_解析：由已知得ABC为正三角形，向量与的夹角为120.所以cos 120.答案：7点P在平面上做匀速直线运动，速度v(4，3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)设开始时点P0的坐标为(10，10)，则5秒后点P的坐标为_解析：由题意知，5v(20，15)，设点P的坐标为(x，y)，则解得点P的坐标为(10，5)答案：(10，5)8若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为
17、邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_解析：如图，向量与在单位圆O内，其中因|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段AB上，因此夹角取值范围为.答案：9如图，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系令|1，则|1，|2.因为CEAB，而ADDC，所以四边形AECD为正方形所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1
18、)，A(1，0)(1)因为(1，1)(0，0)(1，1)，(0，1)(1，0)(1，1)，所以，所以，即DEBC(2)连接MD，MB，因为M为EC的中点，所以M，所以(1，1)，(1，0).因为，所以.又MD与MB有公共点M，所以D，M，B三点共线10已知点P(3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足0，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)，因为，所以(x，yb)(ax，y)，所以a，b，即A，Q，因为0，所以3xy20，即所求轨迹方程为y24x(x0)B能力
19、提升1已知P为ABC所在平面内一点，且满足，则APB的面积与APC的面积之比为_解析：52，222，2()，如图所示，以PA，PB为邻边作PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则24，所以.答案：122如图，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC求：(1)AD的长；(2)DAC的大小解：(1)设a，b，则()ab.所以|22a22abb29233cos 12093.故AD.(2)设DAC，则为向量与的夹角因为cos 0，所以90，即DAC90.3.(选做题)如图，在直角三角形ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大，并求出这个最大值解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设ABc，ACb，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且PQ2a，BCa.设点P(x，y)，则Q(x，y)，所以(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)，所以x(xc)y(yb)(x2y2)cxby.所以cos ，所以cxbya2cos ，所以a2a2cos ，故当cos 1，即0(与的方向相同)时，最大，其最大值为0.
