1、22.3圆与圆的位置关系1.了解圆与圆的位置关系2.理解判断圆与圆的位置关系的代数法与几何法3.掌握圆与圆位置关系的应用1圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含.2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d3；(3)当C1与C2内切时，d；(4)当C1与C2内含时，0d0)，因为圆C与圆C1：x2y22x0相外切，所以r1.又因为圆C与直线xy0相切于A(3，)，所以r，.由解得
2、或 故圆C的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.(1)对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数(2)求公切线的一般步骤是：判断公切线的条数；设出公切线的方程；利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值；验证特殊情况的直线是否为公切线；归纳总结 2.求与圆x2y22x0外切，且与直线xy0相切于点(3，)的圆的方程解：如图所示，设所求圆的圆心坐标C(a，b)，半径r，由于所求圆C与直线xy0相切于点Q(3，)，则CQ垂直于直线xy0.所以kCQ，即有ba4，圆C的半径rCQ2|a3|，由于圆C与已知圆C1：(x1)2y21外切，则有CC11r12|a3|，即有1
3、2|a3|，对该式讨论：当a3时，可得a4，b0，r2，所以圆的方程为(x4)2y24.当a3时，可得a0，b4，r6，所以圆的方程为x2(y4)236，故所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.与两圆相交有关的问题已知两圆C1：x2y22x10y240和C2：x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15；圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又C1C22，r1r25，r1r25.所以r1r
4、2C1C2r1r2，所以两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，所以y10，y22.所以或所以交点坐标为(4，0)和(0，2)所以两圆的公共弦长为2.法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即两圆相交弦所在直线的方程；圆心C1到直线x2y40的距离d3，设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦长2l2.处理两圆相交问题的方法(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不
5、用求交点的方法，常用如下方法： 3.求过两圆x2y225和(x1)2(y1)216的交点且面积最小的圆的方程解：圆x2y225和(x1)2(y1)216的公共弦所在直线的方程为x2y225(x1)2(y1)2160，即2x2y110，过直线2x2y110与圆x2y225的交点的圆系方程为x2y225(2x2y11)0，即x2y22x2y(1125)0.依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(，)必在公共弦所在直线2x2y110上即22110，则，代回圆系方程得所求圆方程为.1两圆的公切线问题(1)公切线的条数判断因两圆位置关系变化而变化：两圆外离时有4
6、条，其中2条内公切线，2条外公切线；两圆外切时有3条，其中1条内公切线，2条外公切线；两圆相交时有2条，只有2条外公切线；两圆内切时有1条，只有1条外公切线；两圆内含时无公切线(2)公切线的求法：由于公切线与两圆都相切，所以圆心到切线的距离都等于圆的半径，故可设公切线方程为ykxb(注意斜率不存在的情况)由两圆心到直线的距离分别等于两圆半径，联立方程组即可求解(3)公切线的长度：一定要结合几何图形，利用构造直角三角形，两点间的距离公式等方法灵活求解2两圆相交时公共弦问题(1)设圆O1：x2y2D1xE1yF10，圆O2：x2y2D2xE2yF20.则两圆相交公共弦所在直线方程为(x2y2D1x
7、E1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题，从而得以解决，如图，利用圆O1，首先求出O1点到相交弦所在直线的距离d，而ACAB，所以AB2rd2，即AB2，从而得以解决3与圆有关的实际应用及几何证明问题中坐标系的建立要建立适当的坐标系，也就是说，建立的坐标系使曲线方程越简单越好，如在圆中建立坐标系，尽量使圆心在坐标原点或坐标轴上求半径为4，且与圆x2y24x2y40和直线y0都相切的圆的方程【解】所求圆与直线y0相切且半径为4，则设圆心为O1(a，4)或(a，4)圆x2y24x2y40的
8、圆心坐标为O2(2，1)，半径为3.若两圆相切，则O1O2347或O1O2431.(1)当圆心为(a，4)时，7或1(无解)，解得a22，故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216；(2)当圆心为(a，4)时，7或1(无解)，解得a22，故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.综上可知，半径为4，且与圆x2y24x2y40和直线y0都相切的圆的方程为(x22)2(y4)216，或(x22)2(y4)216，或(x22)2(y4)216，或(x22)2(y4)216.(1)与直线y0相切的圆的圆心的位置有两种情况：在直线y0的上方和下方
9、，两圆相切也有两种情况：内切和外切，在解题过程中容易忽视了分情况讨论，只考虑了圆心在直线y0某一侧的情况或两圆相切的某一种情况，造成漏解(2)解题过程中要考虑周全，切忌不弄明白题意而妄下结论，导致不必要的失误涉及两圆相切的情况，要考虑分清是内切还是外切，切莫将外切等同于相切，以免出现知识性错误1已知圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是()Axy30B2xy50C3xy90 D4x3y70解析：选C.所求直线实质是两圆心连线所在直线，即3xy90，故选C.2圆x2y24与圆(x2)2y23的位置关系为_解析：两圆心的坐标分别为(0，0)，(2，0)，连心
10、线的长为2，又因为220)的公共弦长为2，则a的值为_解析：两个圆的方程作差可以得到公共弦所在直线方程为y.所以圆x2y24的圆心(0，0)到直线y的距离d.根据半径长、弦心距和半弦长构成直角三角形，得d1，即1.解得a1.答案：1 A基础达标1已知两圆分别为圆C1：x2y281和圆C2：x2y26x8y90，这两圆的位置关系是()A相离B相交C内切 D外切解析：选C.圆C1的圆心为C1(0，0)，半径长r19；圆C2的方程化为标准形式为(x3)2(y4)242，圆心为C2(3，4)，半径长r24，所以C1C25.因为r1r25，所以C1C2r1r2，所以圆C1和圆C2内切2半径为5且与圆x2
11、y26x8y0相切于原点的圆的方程为()Ax2y26x8y0Bx2y26x8y0Cx2y26x8y0Dx2y26x8y0或x2y26x8y0解析：选B.已知圆的圆心为(3，4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(3，4)，可知选B.3设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离C1C2()A4 B4C8 D8解析：选C.因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2，即a，
12、b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根，整理得x210x170.所以ab10，ab17，所以(ab)2(ab)24ab10041732.所以C1C28.4A，B，C两两外切，半径分别为2，3，10，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B.ABC的三边长分别为5，12，13，52122132，所以ABC为直角三角形5台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h解析：选B.如图，以A地为原点，AB所在直
13、线为x轴，建立平面直角坐标系则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得MN20，所以时间为1 h故选B.6一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过_(精确到0.1 m)解析：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，则圆的方程为x2y23.62，将(0.8，y)代入方程得|y|3.5.答案：3.5 m7若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：由题意得OO15，且OO1A是直角三角形，S
14、OO1AOO1OAAO1，所以AB4.答案：48过两圆x2y2xy20与x2y24x4y80的交点和点(3，1)的圆的方程是_解析：设所求圆方程为(x2y2xy2)(x2y24x4y8)0，将(3，1)代入得.故所求圆的方程为x2y2xy20.答案：x2y2xy209圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心O2(2，1)(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB2，求圆O2的方程解：(1)由两圆外切，所以O1O2r1r2，r2O1O2r12(1)，故圆O2的方程是(x2)2(y1)2128，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方
15、程为xy120.(2)设圆O2的方程为：(x2)2(y1)2r.因为圆O1的方程为x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x4yr80.作O1HAB，则AHAB，O1H.又圆心O1(0，1)到直线的距离为，得r4或r20，故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.10已知圆x2y24ax2ay20a200.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点，并求出此定点；(2)若该圆与圆x2y24相切，求a的值解：(1)圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0.此方程表示过圆x2y2200和直线4x2y200交点的圆系由得所以已知圆恒过
16、定点(4，2)(2)圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2.当两圆外切时，dr1r2，即2，解得a1或a1(舍去)；当两圆内切时，d|r1r2|，即|2|，解得a1或a1(舍去)综上所述，a1.B能力提升1已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217或(x5)2(y7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)29解析：选D.设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则41，所以(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切，则41，所以(x5)2(y7)29.2集
17、合A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_解析：因为AB中有且仅有一个元素，所以圆x2y24与圆(x3)2(y4)2r2相切当内切时，|2r|，解得r7.当外切时，2r，解得r3.答案：3或73已知经过点A(1，3)，B(0，4)的圆C与圆x2y22x4y40相交，它们的公共弦平行于直线2xy10，求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则两圆的公共弦方程为(D2)x(E4)yF40，由题意得所以所以圆C的方程为x2y26x160，即(x3)2y225.4(选做题)如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥
18、BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1)如图，以O为坐标原点、OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.由条件知，A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBCtanBCO.又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB，解得a80，b120.所以BC150.因此新桥BC的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OMd m(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大