1、12.4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行1.了解空间两个平面的位置关系2.理解两个平面平行的判定定理与性质定理3掌握两平面平行的定义、判定、性质及应用1两个平面的位置关系(1)两个平面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行，平面平行于平面，记作.(2)两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线图形表示符号表示a2.两个平面平行的判定定理与性质定理(1)两个平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行图形语言符号语言eq blc rc(avs4alco1(a（2）两个平面平行的性质定理文
2、字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行图形语言符号语言ab3.两个平行平面间的距离（1）与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段.（2）两个平行平面的公垂线段都相等.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.1.判断（正确的打“”，错误的打“”）如果平面平行于平面，那么（1）平面内任意直线都平行于平面.（）（2）平面内仅有两条相交直线平行于平面.（）（3）平面内任意直线都平行于平面内的任意直线.（）（4）平面内的直线与平面内的直线不能垂直.（）答案：（1）（2）（3）（4）2.已知平面平面
3、，若两条直线m，n分别在平面，内，则m，n的关系不可能是（）A.平行B.相交C.异面 D.平行或异面答案：B3.已知a和b是异面直线，且a平面，b平面，a，b，则平面与的位置关系是.解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面，设l，则l，因为a，所以a与l无公共点，所以al，所以l.又b，根据面面平行的判定定理可得.答案：平行平面与平面之间的位置关系在以下说法中，正确的个数是（）平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行.A.0B.1C.2 D.3解析：如图1，正方体ABCDA1B1C1D1中
4、，AD平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E、F，连结EF，则知EF平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故错.对于，在正方体ABCDA1B1C1D1中的平面AA1D1D中，与A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故错.如图2，D、E、F、G分别为正方体中所在棱的中点，平面DEFG设为平面，易知，正方体的三个顶点A、B、C到平面的距离相等，但ABC所在平面与相交，故错.答案：A（1）解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语言，根据所给的条件，搞清图
5、形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系.（2）在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关的命题的真假，另外像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法. 1.下面给出了几个命题：若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面必平行.其中，正确的命题是.（请把正确命题的序号都填上）解析：错误，若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面
6、平行或相交.正确，任何直线包括两条相交直线，故能判定两平面平行.正确，由面面平行的定义可得知.错误，平行于同一条直线的两个平面平行或相交.答案：平面与平面平行的判定定理的应用如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.（1）求证：平面A1BD平面B1D1C.（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.证明：（1）因为B1B綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，所以BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.又A1DBDD，所以平面A1BD平面B1D1C.（2）由BDB1D1，得BD平面EB
7、1D1.取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AEB1G，又因为AEB1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1EAG.易得GFAD.又因为GFAD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AGDF，所以B1EDF，所以DF平面EB1D1.又因为BDDFD，所以平面EB1D1平面FBD.（1）要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化.（2）解决此类问题有时还需添加适当的辅助线（或辅助面）使问题能够顺利转化. 2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D1、D分别为B1C1、BC的中点，求证：平面A
8、1D1B平面ADC1.证明：连结D1D.因为D1D綊B1B綊A1A，所以四边形A1ADD1为平行四边形，所以A1D1AD.因为A1D1平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1D1平面ADC1.因为BD1DC1，BD1平面ADC1，DC1平面ADC1，所以BD1平面ADC1，又因为A1D1BD1D1，所以平面A1D1B平面ADC1.平面与平面平行的性质定理的应用如图，已知，点P是平面、外的一点（不在与之间），直线PB、PD分别与、相交于点A、B和C、D.（1）求证：ACBD；（2）已知PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求PD的长.解：（1）证明：因为PBPDP，所以直线PB和PD确定一个
9、平面，则AC，BD.又，所以ACBD.（2）由第一问得ACBD，所以，所以，所以CD（cm），所以PDPCCD（cm）.若本例中的点P在平面与之间，如何求解？解：（1）证明：因为ABCDP，所以直线AB、CD确定一个平面，且AC，BD，又，所以ACBD.（2）由第一问知，ACBD，所以，即，解之得PD.（1）应用面面平行的性质定理时，注意把握关键条件：两平行平面与第三个平面形成的交线平行.必要时，注意通过作辅助线构造两平行平面.（2）证明线线平行，目前有以下三种方法：平行公理，即由线线平行得到线线平行；线面平行的性质定理，即由线面平行得到线线平行；面面平行的性质定理，即由面面平行得到线线平行.
10、 3.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为A1B上任意一点，求证：DM平面D1B1C.证明：由正方体ABCDA1B1C1D1，知A1B1綊AB，AB綊CD，所以A1B1綊CD.所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1DB1C.而B1C平面CB1D1，所以A1D平面CB1D1.同理BD平面CB1D1，且A1DBDD.所以平面A1BD平面CB1D1.因为DM平面A1BD，所以DM平面CB1D1.1.对平面与平面平行的判定定理的理解（1）利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交，否则不成立.（2）由两个平面平行的判定定理可以得出
11、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.（3）该定理体现了转化思想，它将“面面平行”转化为“线线平行”.2.面面平行的判定方法（1）定义法：两个平面没有公共点.（2）归纳为线面平行平面内的所有直线（任一直线）都平行于，则；判定定理：平面内的两条相交直线a、b都平行于，则.（3）化归为线线平行：平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则.（4）利用平面平行的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行.1.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A.梯形
12、B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定解析：选B.由面面平行的性质定理知，EFHG，EHFG，故四边形EFGH为平行四边形.2.若平面平面，且，间的距离为d，则在平面内，下面说法正确的是.（填序号）有且只有一条直线与平面的距离为d；所有直线与平面的距离都等于d；所有直线与平面的距离都不等于d.解析：两个平面平行，其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面间的距离.答案：3.已知夹在两平行平面、之间的线段AB8，且AB与成45角，则与之间的距离是.解析：如图，过A作AA平面交于点A，连结AB，则AB为AB在平面内的射影，所以ABA为AB与所成的角，所以ABA45，
13、在RtABA中，AB8，AA84，又因为，所以AA，所以AA为与之间的距离，所以与之间距离为4.答案：4 A基础达标1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A.一定平行B.一定相交C.平行或相交 D.以上判断都不对答案：C2.如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）A.只有一个 B.恰有两个C.没有或只有一个 D.有无数个解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个.故选C.3.下列说法中正确的是（）A.若平面内的直线a平行
14、于平面内的直线b，且a，b，则B.若直线a，a，则C.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行D.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行解析：选D.对于A，若l，a且al，b且bl，则ab，但此时与不平行；对于B，若l，a且al，则a，但此时与不平行；对于C，不符合面面平行的判定定理，这两个平面还可能相交；D是面面平行的判定定理的推论.4.平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为（）A.平行 B.相交C.平行或相交 D.可能重合解析：选C.若三点分布于平面的同侧，则与平行，若三点分布于平面的两侧，则
15、与相交.5.在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（）A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G解析：选A.如图，因为EGE1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，所以EG平面E1FG1，又G1FH1E，同理可证H1E平面E1FG1，又H1EEGE，所以平面E1FG1平面EGH1.6.如图，P是ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则.解析：由平面平面ABC，得ABAB，BCBC，ACAC，由等角定理得ABCABC，
16、BCABCA，CABCAB，从而ABCABC，PABPAB.答案：7.已知a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出六个命题：ab；ab；a；a，其中正确的命题是.（填序号）解析：是平行公理，正确；中a，b还可能异面或相交；中、还可能相交；是平面平行的传递性，正确；还有可能a；也是忽略了a的情形.答案：8.如图是正方体的平面展开图：在这个正方体中，BM平面ADE；CN平面BAF；平面BDM平面AFN；平面BDE平面NCF，以上说法正确的是.（填序号）解析：以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则易判定四个说法都正确.答案：9.已知PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB
17、，PC的中点.求证：MN平面PAD.证明：取CD的中点H，连结NH，MH，因为NHPD，所以NH平面PAD，同理MH平面PAD，又MHNHH，所以平面MNH平面PAD，又MN平面MNH，所以MN平面PAD.10.如图，四边形ABCD与ADEF都是平行四边形，M，N分别是CA与DF的中点，MN平面，试确定平面，使得平面平面ABF.解：取DA的中点P，连结MP与NP.因为M，N分别是CA与DF的中点.所以MPCD，又CDBA.所以MPBA，BA平面ABF，MP平面ABF.所以MP平面ABF.同理NP平面ABF，又MPNPP，所以平面MNP平面ABF，即平面MNP即为所要求作的平面.B能力提升1.给
18、出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，其中正确的说法为.（填序号）解析：当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故错；由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故错；过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故错；过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故对.答案：2.设平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且AS8，BS9，CD34，当点
19、S在平面，之间时，CS.解析：如图，由题意知，ASCBSD，因为CD34，所以SD34CS.由ASBSCS（34CS）知，89CS（34CS），所以CS16.答案：163.如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE为梯形，EFAD，P，Q分别为棱BE，DF的中点.求证：PQ平面ABCD.证明：法一：如图（1），取AE的中点G，连结PG，QG.在ABE中，BPPE，AGGE，所以PGBA，又PG平面ABCD，BA平面ABCD，所以PG平面ABCD.在梯形ADFE中，DQQF，AGGE，所以GQAD，又GQ平面ABCD，AD平面ABCD，所以GQ平面ABCD.又PGGQG，PG，GQ平面PQG
20、，所以平面PQG平面ABCD.又PQ平面PQG，所以PQ平面ABCD.法二：如图（2），连结EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连结BH.在梯形ADFE中，EFDH，FQQD，所以EFQHDQ，所以EQQH.在BEH中，BPPE，EQQH，所以PQBH.又PQ平面ABCD，BH平面ABCD，所以PQ平面ABCD.4.（选做题）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解：法一：存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DFB1C1，因为AB的中点为E，连结EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.法二：假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，则DFB1C1，又DF平面AB1C1，所以DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，所以平面DEF平面AB1C1，因为EF平面DEF，所以EF平面AB1C1.又因为EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，所以EFAB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.
