1、12点、线、面之间的位置关系12.1平面的基本性质1.了解平面的概念2.理解平面的三个公理及其推论3掌握平面的三个公理及其推论的应用，平面的画法和表示方法，以及图形语言与符号语言的互译1平面的概念及相关知识(1)平面：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的(2)画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(3)表示方法一个希腊字母：如、等；两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点2点、直线、平面之间的关系(1)两个平面的交
2、线若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达Al点A在直线l上Al点A在直线l外A点A在平面内续表数学符号表示文字语言表达图形语言表达A点A在平面外l直线l在平面内l直线l在平面外lmA直线l，m相交于点Al平面、相交于直线l3.平面的基本性质(1)公理公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内Al，Bl，A，Bl公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线l
3、且Pl公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面三点A，B，C，A直线BC有且只有一个平面，使A，B，C(2)推论推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面点A和直线a，且Aa有且只有一个平面，使A，a推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面直线a和b，且abO有且只有一个平面，使a，b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面直线a和b，且ab，有且只有一个平面，使a，b1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面()(2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些()(3)一条直线在平面内
4、，可用下图表示()(4)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为abA.()(5)平面ABCD的面积为100 m2.()(6)过三点A，B，C有且只有一个平面()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2点A在直线l上，直线l在平面外的符号表示是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l答案：C3根据图填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC_平面ACDAC.答案：文字语言、图形语言、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语
5、言予以叙述，并用图形语言予以表示l，Al，AB，AC.解：(1)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.用图形表示：(如图1所示)(2)文字语言叙述为：点A在平面与平面的交线l上，直线AB，AC分别在平面，内，图形语言表示如图2所示(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别 1.(1)将下列文字语言转化为符号语言点A在平面内，但不在平面内直线a经过平面外一点M.直线l在平面内，又在平面内(即平面和平面相交于直
6、线l)(2)将下列符号语言转化为图形语言a，bA，Aa.c，a，b，ac，bcP.解：(1)A，A.Ma，M.l.(2)点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内解：已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内证明：法一：(纳入平面法)因为l1l2A，所以l1和l2确定一个平面.因为l2l3B，所以Bl2.又因为l2，所以B.同理可证C.又因为Bl3，Cl3，所以l3.所以直线l1，l2，l3在同一平面内法二：(辅助平面法)因为l1l2A，所以l1，l2确定一个平面.因为l2l3B，所以l2，l3确定一个平面.因为Al2，l2，所以A
7、.因为Al2，l2，所以A.同理可证B，B，C，C.所以不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内所以平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合 2.已知直线a，b，c两两平行，但不共面，求经过其中2条直线的平面个数解：根据推论3：两条平行直线确定一个平面，又a，b，c两两平行但不共面，故可确定3个平面点共线、线共点问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点求证：CE，D1F，
8、DA三线交于一点证明：连结EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綊A1B.又因为A1B綊D1C，所以EF綊D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据公理3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成E，F分别为AB，AA1上的点，且D1FCEM，求证：点D、A、M三点共线证明：因为D1FCEM，且D1F平面A1D1DA，所以M平面A1D1DA，同理M平面BCDA
9、，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA平面BCDAAD，所以MAD成立所以点D、A、M三点共线(1)证明三点共线的方法首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知，这些点都在两个平面的交线上选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上(2)证明三线共点的步骤说明两条直线共面且交于一点说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交得到交线也过此点，从而得到三线共点 3.已知三个平面，两两相交于三条直线，即c，a，b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点证明：因为b，a，所以a，b.又由于直线a和b不平行，所以a，b必相交设abP，如图
10、，则Pa，Pb.因为a，b，所以P，P.又c，所以Pc，即交线c经过点P.所以a，b，c三条直线相交于同一点1立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分，可以度量(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以无限延展，没有边界(3)立体几何中的平面是理想的，绝对平的2符号语言的理解立体几何中引用集合的观点，把点看作元素，直线(平面)为点的集合点与直线(平面)的关系是属于或不属于关系，用符号“”或“”表示直线与平面的关系是包含或不包含关系，用符号“”或“”表示已知直线a直线b，直线m与a、b分别交于点A、B.求证：过a、b
11、、m有且只有一个平面【证明】因为ab，所以过a、b有一个平面.又maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又Am，Bm，所以m，a、b、m共面于.假设过a、b、m有一个异于的平面，则a，b，a，b.这与ab，过a、b有且只有一个平面相矛盾所以过a、b、m有且只有一个平面(1)“有”表示存在，“只有”表示惟一，“且”表示联立命题，所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“惟一性”(2)“存在性”的证明一般由公理或推论得出题设要求的要素即可(3)证明“惟一性”通常采用“反证法”即从题设的结论入手，假设结论的反面成立，然后进行推理、论证，推出与条件或定义、定理、公理相矛盾的结论，说明结论反面是
12、不成立的，从而肯定了命题的结论是成立的1若A平面，B平面，C直线AB，则()AC BCCAB DABC答案：A2下列说法正确的是()A三点确定一个平面B平面和有不同在一条直线上的三个交点C梯形一定是平面图形D四边形一定是平面图形答案：C3一个平面把空间分成_部分，两个平面把空间分成_部分解析：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时把空间分成三部分答案：24或34如图，已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于点P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线证明：因为ABP，AB平面ABC，所以P平面ABC，P.所以点P在平面ABC与平面的交线上同理可证，点Q和R均在这
13、条交线上所以P，Q，R三点共线 A基础达标1下面给出了三个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都平行的两条直线其中，能确定一个平面的条件有()A0个B1个C2个 D3个解析：选B.空间三点共线时不能确定一个平面点在直线上时不能确定一个平面和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面故选B.2如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，且Ml，Nl，那么()Al BlClM DlN解析：选A.因为Ma，Nb，a，b，所以M，N.而M，N确定直线l，根据公理1可知，l.故选A.3已知，为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()AAa，A，Ba，BaBM，M，N，NMNCA，AAD
14、A，B，M，A，B，M，且A，B，M不共线，重合解析：选C.选项C中，与有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错4空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B必有三点不共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线解析：选B.若ABCD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.5.如图，平面平面l，A、B，C，Cl，直线ABlD，过A、B、C三点确定的平面为，则平面、的交线必过()A点A B点BC点C，但不过点D D点C和点D解析：选D.根据公理判定
15、点C和点D既在平面内又在平面内，故在与的交线上故选D.6已知平面与平面、平面都相交，则这三个平面可能的交线有_条解析：当与相交时，若过与的交线，有1条交线；若不过与的交线，有3条交线；当与平行时，有2条交线答案：1或2或37若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_解析：如图，因为ACBD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD.因为lO，所以O.又因为OAB，所以O直线CD，所以O，C，D三点共线答案：共线8如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是_(把正确图形的序号都填上)解析：图形中，连结MN，PQ
16、(图略)，则由正方体的性质得MNPQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形正确分析可知中四点共面，中四点均不共面答案：9在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面解：(1)错误如图所示，点A平面CC1B1B，所以直线AC1平面CC1B1B.(2)正确如图所示因为O直线AC平面AA1C1C，
17、O直线BD平面BB1D1D，O1直线A1C1平面AA1C1C，O1直线B1D1平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为ADB1C1且ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明：如图(1)因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1，在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF、BD确定一个平
18、面，即D，B，F，E四点共面(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.则Q是与的公共点，同理P是与的公共点，所以PQ.又A1CR，所以RA1C.所以R，且R，则RPQ.故P，Q，R三点共线B能力提升1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形解析：选C.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交
19、CB于点Q，连结PQ交AD于点E，AB于点F，连结NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.2已知A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，(1)如果EHFGP，那么点P在_上；(2)如果EFGHQ，那么点Q在_上解析：(1)如图，由AB、AD确定平面.因为E、H在AB、DA上，所以E，H，所以直线EH，又因为EHFGP，所以PEH，P.设BC、CD确定平面，同理可证，P，所以P是平面，的公共点，因为BD，所以点P在直线BD上同理可证(2)点Q在直线AC上答案：(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线3在四边形ABCD中，已知ABDC，
20、AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上证明：因为ABCD，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面，则AB，AD.因为EAB，所以E，因为HAD，所以H.又因为E，H，所以EH.因为DC，GDC，所以G.又因为G，所以点G在与的交线EH上同理，点F在与的交线EH上所以E，F，G，H四点共线4(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面相交，交点为O，P为定直线外一点，P，直线AP，BP与平面分别相交于A，B，试问，如果P点任意移动，直线AB是否恒过一定点，请说明理由解：随着P点移动，直线AB恒过定点O，O为直线AB与平面的交点理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面，因为APA，BPB，所以AB，而ABO，所以O一定在交线AB上，即直线AB恒过定点O.