1、第二节 等差数列 第二节 等差数列 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1等差数列(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示，公差的表达式为_ 公差anan1d(nN*，n2)(2)等差中项 任意两个数a，b有且只有一个等差中项，即_.(3)等差数列的通项公式 an_，an_，其中nm，也可以nm.但am、an必须是数列中的项，也可得d_或d_.ab2.a1(n1)dam(nm)dana1n1anamnmna1nn1d2(4)等差数列的求和公式
2、(由倒序相加法推得)Sn_，Sn_.na1an2.思考感悟若数列an的前n项和为Snan2bn，能否断定数列an是等差数列？反之是否成立？提示：数列an的前n项和为Snan2bn数列an是等差数列2等差数列的性质(1)若公差d0，则此数列为递增数列；若d0，则此数列为递减数列；若d0，则此数列为常数列(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即 a1ana2an1a3an22a中(3)若m，n，p，kN*，且mnpk，则_，其中am，an，ap，ak是数列中 的 项，特 别 地，当 m n 2p 时，有_(4)在等差数
3、列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列amanapak2apaman.(5)若数列an与bn均为等差数列，则mankbn仍为等差数列，其中m，k均为常数(6)若an成等差数列，Sn为其前n项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列(7)项数为偶数2n的等差数列an，有 S2nn(a1a2n)n(anan1)(an 与 an1为中间的两项)；S 偶S 奇_；S奇S偶_.anan1nd项数为奇数(2n1)的等差数列an，有S2n1(2n1)an(an 为中间项)；S 奇S 偶_；S奇S偶_.S 奇、S 偶分别为
4、数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和nn1an课前热身 1在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则 该 数 列 的 通 项 公 式 an _.答案：2n1 2(2011年无锡调研)若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为28，则其他两角的度数分别为_ 答案：60，92 3下列命题中正确的是_ 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 答案：4等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和
5、Sn100，则n_.答案：10 考点探究挑战高考 等差数列的判定 考点突破 1等差数列的判定通常有两种方法：第 一 种 是 利 用 定 义，an an 1 d(常 数)(nN*，n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2)2解填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则数列an为等差数列 若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足SnSn12SnSn10(n2
6、，nN)，a112.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求 an 的表达式例1【思路分析】(1)SnSn12SnSn10 1Sn与 1Sn1的关系 结论(2)由 1Sn的关系式 Sn的关系式 an【解】(1)证明：SnSn12SnSn10，两边同除以 SnSn1，得 1Sn1 1Sn20，即 1Sn1Sn12(n2)，1Sn是以 1S1 1a12 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)知 1Sn 1S1(n1)d2(n1)22n，Sn 12n.当 n2 时，an2SnSn112nn1.又 a1 12，不 适 合 上 式，故 an 12n1，12nn1n2.【名师点评】本题中SnSn12Sn
7、Sn10，是构造等差数列的一种典型结构，可以看作一种结论，第(2)问中易漏掉n1的情况 等差数列的性质及应用 等差数列性质的考查是高考的重点，其中的运算可繁可简，其原因就在于等差数列中的相关性质的应用，而且等差数列所具备的函数的一些性质，更使数列的命题可难可易重点掌握性质的灵活应用(2009 年高考江苏卷)设an是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足a22a23a24a25，S77.(1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)试求所有的正整数 m，使得amam1am2 为数列an中的项例2【思路分析】由条件得 a22a25a24a23，利用性质得3d(a4a3)d(a4
8、a3)，从而 a4a30.【解】(1)设公差为 d，则 a22a25a24a23.由性质得3d(a4a3)d(a4a3)因为 d0，所以 a4a30，即 2a15d0.又由 S77 得 7a1762 d7.解得 a15，d2.所以an的通项公式为 an2n7，前 n 项和Snn26n.(2)amam1am2 2m72m52m3.令 2m3t，则amam1am2 t4t2tt8t6.因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为1.当 t1时，m2，t8t63,2573 是数列an中的第 5 项；t1 时，m1，t8t615，数列an中的最小项是5 不符合所以满足条件的正整数 m2.【名师点评】利用等差
9、数列的性质解题，需仔细观察代数式中各项间的联系，尤其在一些有关的结论上要熟记熟用变式训练1 等差数列an的前n项和为Sn.已知am1am1a0，S2m138，求m的值 解：由条件得 2amam1am1a2m，从而有 am0 或 am2.又由S2m1a1a2m12(2m1)38且2ama1a2m1得(2m1)am38，故 am0，则有 2m119，m10.等差数列的前n项和 由于等差数列的求和，题目不算难，属于基本题型，但求和问题常与其他知识联系起来命题，如与最值、恒成立、不等式等结合(2010年高考课标全国卷)设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和S
10、n及使得Sn最大的序号n的值【思路分析】由a3，a10联立求a1，d1，再求出Sn，利用二次函数的性质求最值 例3【解】(1)由 ana1(n1)d 及 a35，a109 得a12d5，a19d9.可解得a19，d2.所以数列an的通项公式为 an112n.(2)由(1)知，Snna1nn12d10nn2，因为 Sn(n5)225，所以当 n5 时，Sn 取得最大值【名师点评】等差数列的前n项和Sn可看作关于n的二次函数，因而可借助于二次函数的有关性质研究Sn的最值问题 变式训练2 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解：设数列an的公差为 d
11、，依题设有2a1a31a22，a1a2a312，即a212a1dd22a10，a1d4.解得a11d3或a18，d4.因此 Sn12n(3n1)或 Sn2n(5n)方法感悟 方法技巧1等差数列的证明或判定，主要方法有两种：(1)利用定义，证明an1an常数；(2)利用中项性质：2anan1an1(n2)2注意推广的通项公式的应用：aman(mn)d.3由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个可求其余两个量(知三求二)，善于恰当选择公式，减少运算量 4注意等差数列的设法如奇数个数成等差数列，除了设成a，ad，a2d，外，还可设成，a2d，ad，a，ad，a2d，.5计算中灵活运用常用性质，整体代
12、换，可使运算量减少，体现运算的合理性、技巧性 6等差数列的最值 若an是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若 a10，d0，且满足an0，an10，前 n项和 Sn 最大；(2)若 a10，且满足an0，an10，前 n项和 Sn 最小；(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.失误防范1等差数列的性质amanapaq(mnpq)错误地理解为amapaq(mpq)2等差数列的通项公式的变形anam(nm)d，易错记为anam(n1)d.3在某个数列中，算项数时易算错，如a1，a2，a3，an中，从a3到a1
13、0应有8项，易错算成1037项考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n项和公式以及与前n项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有填空题又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法 预测2012年江苏高考在本部分内容仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力 规范解答 例(本题满分 14 分)(2010 年高考江苏卷)设各项均为正数的数列an的前 n 项
14、和为 Sn，已知 2a2a1a3，数列 Sn是公差为 d 的等差数列(1)求数列an的通项公式(用 n，d 表示)；(2)设 c 为实数，对满足 mn3k 且 mn 的任意正整数 m，n，k，不等式 SmSncSk都成立求证：c 的最大值为92.【解】(1)由题设知，Sn S1(n1)d a1(n1)d，则当 n2 时，anSnSn1(Sn Sn1)(Sn Sn1)2d a13d22d2n.3 分由 2a2a1a3，得 2(2d a1d2)a12d a13d2，解得 a1d.故当 n2 时，an2nd2d2.5 分又 a1d2，所以数列an的通项公式为 an(2n1)d2.7 分(2)证明：由
15、 a1d 及 Sn a1(n1)d，得 d0，Snd2n2.于是，对满足题设的 m，n，k，mn.有 SmSn(m2n2)d2mn22d292d2k292Sk.所以 c 的最大值 cmax92.9 分另一方面，任取实数 a92.设 k 为偶数，令 m32k1，n32k1，则 m，n，k 符合条件，且 SmSnd2(m2n2)d2(32k1)2(32k1)212d2(9k24).11 分于是，只要 9k242ak2，即当 k22a9时，SmSn12d22ak2aSk.所以满足条件的 c92，从而 cmax92.14 分【名师点评】本题以等差数列为知识背景，结合不等式及推理证明等知识，是一道较为综
16、合的数列题，有一定的难度，第(1)问注重了运算能力，为数列基础知识的考查，而第(2)问的推理论证使思维能力的考查有了较高的要求，要求对不等式的知识要熟练，并且能在不同的知识背景中找到解决问题的着力点，从而解决问题从本题的设计，也提醒同学们在学习中注意数列不等式推理论证方面的综合应用名师预测 1等差数列an中，若a1a4a79，a3a6a93，则an的前9项的和S9_.解析：由已知得：(a1a9)(a4a6)(a3a7)3(a1a9)12，故有 a1a94，则 S99a1a92942 18.答案：18 2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S2142，记A，则A的值为_ 解析：an是等差数列，则 S2121a121202d42，a110d2，即 a112，所以A201.2211913112(2)22aaaa答案：1 2119132aaa3在数列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)试判断数列 1an是否成等差数列；(2)设bn满足 bn 1an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)由已知可得 1an 1an13(n2)，故数列 1an是以 1 为首项、公差为 3 的等差数列(2)由(1)的结论可得 bn1(n1)3，所以bn3n2，Snn13n22n3n12.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
