1、第十三章 极限 第 64 课时 数学归纳法 一、选择题1 设f(n)1 12 13 13n1(nN*)，那 么f(n 1)f(n)等 于()A.13n2B.13n13n1C.13n113n2D.13n13n113n2答案：D2 用数学归纳法证明“对一切 nN*，都有 2nn22”这一命题，证明过程中应验证()An1 时命题成立Bn1，n2 时命题成立Cn3 时命题成立Dn1，n2，n3 时命题成立解析：假设 nk 时不等式成立，即 2kk22.当 nk1 时，2k122k2(k22)，由 2(k22)(k1)22k22k30(k1)(k3)0k3，因此需验证 n1,2,3 时命题成立答案：D3
2、用数学归纳法证明不等式 1n1 1n2 1n3 12n1324(n2)由 nk 递推到nk1 时，不等式左边()A增加了一项“12(k1)”B增加了“12(k1)”，减少了“1k1”C增加了两项“12k112(k1)”D增加了“12k112(k1)”，又减少了“1k1”解析：f(k)1k1 1k2 1k3 12k；f(k1)1(k1)11(k1)21(k1)3 12(k1)(1k1 1k2 1k3 12k)12k112k2 1k1，f(k1)f(k)12k112k2 1k1.答案：D4 用数学归纳法证明命题“n3(n1)3(n2)3(nN)能被 9 整除”要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只
3、需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3解析：假设 nk 时命题成立，即 k3(k1)3(k2)3 能被 9 整除，当 nk1 时(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)39(k23k)27.答案：A二、填空题5 已知数列an满足条件(n1)(an1n1)(n1)(ann1)，nN*，且 a28，则数列an的通项公式为_解析：令 n1，则 2(a12)0，即 a12；令 n2，则 a333(a23)，即 a318；令 n3，则 2(a44)4(a34)，即 a432；可推测 an2n2.答案：an2n26 已知数列an满足 a112，且前 n 项和 Sn
4、 满足 Snn2an，则 an_.解析：Snn2an，当 n2 时，Sn1(n1)2an1，ann2an(n1)2an1.当 n2 时，ann1n1an1，又 a112，a213a116，a324a2 112，a435a3 120，可推测 an1n(n1).答案：1n(n1)7设数列an满足关系式a12pan2p p2an1(nN*，n2)，其中 p 为非零常数，则数列an的通项公式是 an_.解析：由a12p，an2p p2an1，得 a22pp2a132p，a32pp2a243p，a42pp2a354p，可推测 ann1n p.答案：n1n p三、解答题8 求证：对任意的 nN*，(3n1
5、)7n1 能被 9 整除证明：当 n1 时，(3n1)7n1 显然能被 9 整除假设 nk(kN*，k1)时命题成立，即(3k1)7k1 能被 9 整除当 nk1 时(3k4)7k11(3k1)7k17(37k13)97(3k1)7k13(7k11)9.由归纳假设(3k1)7k1 能被 9 整除，可以用数学归纳法(或二项式定理)证明 3(7k11)能被 9 整除因此(3k4)7k11 能被 9 整除，命题成立由可知对任意的 nN*，(3n1)7n1 能被 9 整除9 已知函数 f(x)x3x1(x1)设数列an满足 a11，an1f(an)，数列bn满足 bn|an 3|，Snb1b2bn(n
6、N*)(1)用数学归纳法证明 bn(31)n2n1；(2)证明 Sn1.因为 a11，所以 an1(nN*)下面用数学归纳法证明不等式 bn(31)n2n1.当 n1 时，b1 31，不等式成立假设当 nk(kN*，k1)时，不等式成立，即 bk(31)k2k1，那么 bk1|ak1 3|(31)|ak 3|1ak 312bk(31)k12k.所以，当 nk1 时，不等式也成立根据和，可知不等式对任意 nN*都成立(2)由(1)知 bn(31)n2n1，所以 Snb1b2bn(31)(31)22(31)n2n1(31)1(312)n1 312(31)11 31223 3.故对任意 nN*，Sn
7、1，对任意自然数 n 都有 an1an2an1.(1)设 a11，求 a2，a3，a4；试分别比较 a2n 和 a2n1 与 2的大小，并证明你的结论；(2)当 a1 2时，证明：对于任意自然数 n，或者满足 a2n1a2n1.解答：(1)a11，an1an2an1，a232，a332232175，a47527511712，a11 2.证明：假设 ak 2，当 nk1 时，ak2ak12ak11ak2ak12ak2ak113ak42ak3.ak 2ak3 2432 2(32 2)ak3 243ak42 2ak3 23ak42ak3 2，即 ak2 2，因此 a2n1 2，nN*.同理可证 a2
8、n 2，则 a2n1 2，42a22n12a2n130，即 a2n1a2n1a2n1；若 a1 2，则 a2n10，即 a2n1a2n10，则 a2n1x4x6可推测x2n为递减数列，下面用数学归纳法证明：当 n1 时，x2x4 猜想成立；假设 nk 时命题成立，即 x2kx2k2，可知 xk0，x2k2x2k411x2k111x2k3x2k3x2k1(1x2k1)(1x2k3)x2kx2k2(1x2k)(1x2k1)(1x2k2)(1x2k3)0，即 x2(k1)x2(k2)，也就是说当 nk1 时猜想成立，综合和知 x2nx2n2，(nN)(2)证明：当 n1 时，|xn1xn|x2x116，结论成立当 n2 时易知 0 xn11，则 1xn112.(1xn)(1xn1)(111xn1)(1xn1)2xn152，|xn1xn|11xn11xn1|xnxn1|(1xn)(1xn1)25|xnxn1|252|xn1xn2|25n1|x2x1|16 25n1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m