1、12.2同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式3学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明同角三角函数的基本关系式1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin24cos241都成立()(2)对任意角，tan 都成立()(3)对任意的角，有sin2cos21.()(4)sin2与sin 2所表达的意义相同()解析：(1)正确当角R时，sin24cos241都成立，所以正确(2)错误当k，kZ，即2k，kZ时，tan 没意义，故tan 不成立，所以错误(3)错误当，0时，sin2cos21，故此说法是错误的(4)错误sin2
2、是(sin )2的缩写，表示角的正弦的平方，sin 2表示角2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的答案：(1)(2)(3)(4)2已知，sin ，则cos 等于()ABCD答案：B3化简：(1tan2 )cos2 等于()A1B0C1D2答案：C4已知tan 1，则_解析：原式.答案：已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos ，求sin ，tan 的值【解】因为cos 0，求cos 、tan .解：(1)因为是第二象限角，故sin 0，cos 0，又tan ，所以，又sin2cos21，解得cos .故填.(2)因为tan 0，则在第一、三象限，所以a1.若在第一象限，sin a0，且a
3、1时，cos .所以tan .若在第三象限，sin a0，且a1时，cos .所以tan .利用同角三角函数关系化简化简下列各式：(1)；(2) ，其中sin tan 0.【解】(1)1.(2)由于sin tan 0，则sin ，tan 异号，所以是第二、三象限角，所以cos 0.所以 .(1)三角函数式的化简过程中常用的方法化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的 对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)
4、对三角函数式化简的原则使三角函数式的次数尽量低使式中的项数尽量少使三角函数的种类尽量少使式中的分母尽量不含有三角函数使式中尽量不含有根号和绝对值符号能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示. 2.化简：.解：原式.利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1tan2；(2).【证明】证明：(1)因为1tan21，所以原式成立(2)法一：由sin 0知，cos 1，所以1cos 0.于是左边右边所以原式成立法二：因为sin2cos21，所以sin21cos2，即sin2(1cos )(1cos )因为1cos 0，sin 0，所以.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的
5、过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 3.(1)求证：.(2)求证：.证明：(1)左边右边所以原式成立(2)因为右边左边，所以原等式成立1同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式成立与角的表达形式无关，如sin23cos231.2在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90不成
6、立3注意公式的变形，如sin21cos2，cos21sin2，sin cos tan ，cos 等4在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定的，不可凭空想象已知sin cos ，其中0，求sin cos 的值【解】因为sin cos ，所以(sin cos )2，可得：sin cos .因为0，且sin cos 0，所以sin 0，cos 0.所以sin cos 0，又(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .(1)在处得到sin cos 0，为判断sin ，cos 的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用
7、平方关系求解sin cos 的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin cos ，则是解答本题的又一易失分点(2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号1已知sin ，tan ，则cos ()ABCD解析：选B因为tan ，所以cos .2化简：(1cos )()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：选A(1cos )(1cos )sin .3已知cos ，且2，那么tan 的值为_解析：因为为第四象限角，所以tan 0，sin 0，sin ，所以tan .答案：4已知tan ，且是
8、第三象限角，求sin ，cos 的值解：由tan ，得sin cos ，又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，所以cos ，sin .学生用书P83(单独成册)A基础达标1若cos ，则(1sin )(1sin )等于()ABCD解析：选B原式1sin2cos2，故选B2若是第四象限角，tan ，则sin ()ABCD解析：选D因为tan ，sin2cos21，所以sin .因为是第四象限角，所以sin .3已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin cos 的值为()ABCD解析：选A由sin4cos4，得(sin2cos2)22sin2cos2，所以
9、sin2cos2.因为是第三象限角，所以sin 0，cos 0，所以为第一或第三象限角当为第一象限角时，cos ，此时sin ，则1sin cos 1；当为第三象限角时，cos ，此时sin ，则1sin cos 1()().5若cos 2sin ，则tan ()AB2CD2解析：选B由得(sin 2)20.所以sin ，cos .所以tan 2.6已知tan m，则sin _解析：因为tan m，所以m2，又sin2cos21，所以cos2，sin2.又因为，所以tan 0，即m0.因而sin .答案：7已知2，则sin cos 的值为_解析：由2，等式左边的分子分母同除以cos ，得2，所
10、以tan 3，所以sin cos .答案：8已知是第二象限角，则_解析：因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以1.答案：19化简：.解：原式sin xcos x.10已知tan 2，求下列各式的值：(1)；(2)sin23sin cos 1.解：(1)因为tan 2，所以cos 0.所以.(2)因为tan 2，所以cos 0.所以sin23sin cos 1sin23sin cos (sin2cos2)2sin23sin cos cos2.B能力提升1若ABC的内角A满足sin Acos A，则sin Acos A的值为()ABCD解析：选A因为A为ABC的内角，且sin Acos
11、 A0，所以A为锐角，所以sin Acos A0.又12sin Acos A1，即(sin Acos A)2，所以sin Acos A.2已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2_解析：因为tan 2，所以cos 0，则原式可化为.答案：3已知2sin cos 1，3cos 2sin a，记数a形成的集合为A，若xA，yA，则以点P(x，y)为顶点的平面图形是什么图形？解：联立解得或所以a3cos 2sin 3或，即A.因此，点P(x，y)可以是P1(3，3)，P2，P3，P4.经分析知，这四个点构成一个正方形4(选做题)已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别为sin 和cos ，(0，2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值解：由根与系数的关系，可得(1)sin cos .(2)由平方，得12sin cos ，所以sin cos .又由，得，所以m，由，得m，所以m符合题意；(3)当m时，原方程变为2x2(1)x0，解得x1，x2.所以或又因为(0，2)，所以或.