1、第一节 平面向量的概念及线性运算第一节 平面向量的概念及线性运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1向量的有关概念(1)向量的概念：既有_又有_的量叫做向量注意向量和数量的区别，向量常用_来表示(2)零向量：_的向量叫零向量，记作：_，零向量的方向是_大小方向有向线段长度为0任意的0(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是_)(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：_，规定零向量和_平行(6)相反向量
2、：长度相等方向相反的向量叫做相反向量a的相反向量是_.ABABABab任意向量a2向量的线性运算向量 运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 _法则 _法则 (1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_ 三角形 平行四边形baa(bc)向量 运算 定义 法则(或几何意义)运算律 减法 求a与b的相反向量b的和的运算 _法则 三角形向量 运算 定义 法则(或几何意义)运算律 数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|_(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_ (a)_；()a_；(ab)_|a|.相同相反0()aaaab3.向量平行(共线)的
3、充要条件 向量a(a 0)与向量b共线的充要条件为存在惟一一个实数，使_ba.思考感悟如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：首先求出AB、AC，然后证明AB AC，即AB 与AC 共线即可课前热身 1下列说法正确的是_ 向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 有相同起点的两个非零向量不平行 答案：2(2011 年南京调研)在平行四边形 ABCD 中，AB CA BD 等于_答案：CD3将2(2a8b)4(4a2b)化简得到的结果是_ 答案：a2b 1124.如图所示，D 是ABC 的
4、边 AB 的中点，则向量CD _.(用AB，AC 表示)答案：AB AC12考点探究挑战高考 向量的有关概念 考点突破 向量中的有关概念容易混淆，向量是矢量，有自己独特的运算法则，准确把握与实数的不同，记忆特殊的有关知识才可以准确判断，重点考查对概念的辨析判断下列命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若|a|b|，则ab；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若ab，bc，则ac；(7)若ab，bc，则ac；例1(8)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AB DC，BC DA.【思路分析】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键【解】
5、(1)该命题不正确零向量不是没有方向，而是方向任意(2)该命题不正确|a|b|只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同(3)该命题不正确单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求(4)该命题不正确有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来(5)该命题正确因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则其终点必重合(6)该命题正确由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向也相同，从而a与c的方向也必相同，故ac.(7)该命题不正确若b0，则对两不共线的向量a与c，也有a0，0c，但a不平行于c.(8)该命题不正
6、确如图所示，显然有AB DC，但BC DA【名师点评】对向量有关概念的理解和判断，要准确掌握有关概念、向量中的典型特点，如带方向、可以平移、零向量等，要理解在有关问题中所起的特殊作用、对有关问题的影响等，才可能不出错误向量的线性运算 关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决 在使用三角形法则求两向量的和时要注意“首尾相接”，求两向量的差时要注意“连接两个向量的终点，方向指向被减向量”，且两向量要共起点ABC 中，AD 23AB，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设AB a，AC
7、b，用 a、b 表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.例2【思路分析】对于每个向量要找准向量的起点和终点，再利用向量的加减法法则，转化为用a、b来表示BC AC AB ba.由ADEABC，得DE 23BC 23(ba)又 AM 是 BC 边上的中线，DEBC，得DN 12DE 13(ba)又AM 12(ab)【解】DE BCAD 23ABAE 23AC 23b，ADNABMAD 23ABAN 23AM 13(ab)【名师点评】三角形中两边对应的向量已知，可求第三边对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行 互动探究 1
8、在例 2 图中，连结 C、D 交 AM 于点 P，若APAM，CPCD，求，.解：CD AD AC 23AB AC23ab，AM 12a12b.AC AP PCAPCPAM CD(12a12b)(23ab)(223)a(2)b.又AC b，223 0，21，解得45，35.向量的共线问题 向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值无论上述哪种题型都离不开共线向量定理 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 3e12e2，CD 8e12e2，求证：A、C、D 三点共线；(2)如果AB e1e2，BC 2e13e2，CD 2e1
9、ke2，且 A、C、D 三点共线，求 k 的值例3【思路分析】(1)要证 A、C、D 三点共线，只需证存在实数，使AC CD 即可(2)由于 A、C、D 三点共线，因此存在实数，使AC CD，因而可据已知条件和向量相等条件得到关于，k 的方程，从而求 k.【解】(1)证明：AC AB BC e1e2(3e12e2)4e1e212(8e12e2)12CD.AC、CD 共线，又有公共点 C，A、C、D 三点共线(2)AB e1e2，BC 2e13e2，AC 3e12e2又A、C、D 三点共线存在 使AC CD3e12e2(2e1ke2)2e1ke2322k，k43.【名师点评】(1)向量共线是指存
10、在实数使两向量互相表示(2)向量共线的充要条件中，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 变式训练2 已知e1与e2不平行，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值解：ke1e2 与 e1ke2 共线，存在非零实数 使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，解得 k1.方法感悟 方法技巧1向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素在用有向线段表示向量时，要认识到
11、有向线段的起点的选取是任意的不要误以为向量也是由起点、大小和方向三个要素决定的一句话，研究向量问题应具有“平移”意识长度相等、方向相同的向量都是相等向量2共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反当然向量所在的直线可以平行，也可以重合其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 3向量的加减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可
12、多记忆一些有关的结论 4对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置失误防范1向量要与直线区别开，向量只与方向、模大小有关系，而直线与坐标平面内的位置关系有关 2在向量平行的有关问题中，易忽略零向量这一情形考向瞭望把脉高考 考情分析 平面向量的概念及线性运算在近几年的江苏高考中既是热点又是重点，一般以填空题形式出现，有时也出现在解
13、答题的某一步骤或某一环节，出现的知识点可能以平面图形为载体考查平面向量、借助基向量考查交点位置或借助向量的坐标形式考查共线等问题对概念一般不单独考查，对线性运算和向量共线定理的考查较频繁，常同平面几何、解析几何等知识结合，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的运算等，考查形式灵活预测在2012年江苏高考中，平面向量的概念及线性运算仍是重点考查的内容之一真题透析 例(2010 年高考湖北卷改编)已知ABC 和点 M满足MA MB MC 0，若存在实数 m 使得AB AC mAM 成立，则 m_.【解析】设 BC 的中点为 D，由已知条件可得 M 为ABC的重心，AB
14、 AC 2AD，又AM 23AD，故 m3.【答案】3【名师点评】与三角形有关的平面向量问题，要结合三角形的有关几何性质特征解答，平面向量的加、减法运算的几何意义体现的较为直观形象在考查时，“形”的意义在解题中是关键，可以在平时的训练中多总结思路、方法名师预测 1若OA a，OB b，下列向量中能表示AOB平分线上的向量OM 的是_ a|a|b|b|a|a|b|b|，由OM 确定 ab|ab|b|a|a|b|a|b|，由OM 确定解析：由平面几何知识知AOB 的平分线可视为以 OA，OB 所在线段为邻边的菱形的对角线 OM 所在的直线，故OM a|a|b|b|，其中 由OM 确定答案：2.梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别是CD，AB 的中点，设AB a，AD b.若MN manb，则nm_.解析：MN MD DA AN 14ab12a14ab，m14，n1，nm4.答案：4 3已知 a，b 是不共线的向量，若AB 1ab，AC a2b(1，2R)，则 A、B、C 三点共线的充要条件为_解析：A、B、C 三点共线AB AC 12110121.答案：121 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用