1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件(1)四种命题 命题表述形式原命题逆命题否命题逆否命题若q则p 若 p则 q 若 q则p若p则q 2.四种命题及其关系 基础梳理1.命题可以_的陈述句叫做命题命题有_与_之分判断真假 真命题假命题（2）四种命题及其关系(3)原命题与它的_一定同真或同假；同样，它的_与_也一定同真或同假，即互为逆否的两个命题是_逆否命题逆命题否命题等价的3.充分条件与必要条件(1)定义：对命题“若p，则q”而言，当它是真命题时，p是q的_，q是p的_；当它的逆命题为真时，q是p的_，p是q的_；两种命题均为真时，称p是q的_(2)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个
2、是条件，哪个是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，_，充要条件，_.充分条件必要条件充分条件必要条件充要条件必要不充分条件既不充分又不必要条件基础达标1.下列句子或式子中命题的个数是()语文和数学；x23x40；3x20；垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？一个数不是合数就是素数；把门关上A.1 B.3 C.5 D.22.(2010陕西)“a0”是“|a|0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件AA1.解析：能判断真假的陈述句为命题，故只有为命题 2.解析：a0|a|0，|a|0/a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件3.解析：
3、逆命题：“设a、b、cR，若ab，则ac2bc2”，为假命题；否命题：“设a、b、cR，若ac2bc2，则ab”，为假命题；逆否命题：“设a、b、cR，若ab，则ac2bc2”，为真命题3.(2010银川模拟)命题“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.3个B4.命题“如果(x2)2(y1)20，则x2且y1”的逆否命题为_若x2或y1，则(x2)2(y1)204.解析：若p则q的逆否命题为若q则p，又因为“x2且y1”的否定为“x2或y1”，所以答案为：若x2或y1，则(x2)2(y1)20.5.(教材改编题)下列说法中
4、正确的个数为()“x23x+4”是“x”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“x2”是“x3”的必要条件；“x10”是“(x1)(x4)0”的充分不必要条件A.0 B.1 C.2 D.334x 3xB解析：x23x4/x，但是xx23x4，x23x4是x的必要不充分条件；既不充分也不必要条件；既不充分也不必要条件；正确故正确的个数为1个，选B.34x 34x 34x 经典例题【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)内接于圆的四边形的对角互补；(2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.题型一 四种命题的关系及命题真假的判
5、定解：(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.四种命题都正确(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论显然原命题是正确的逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”此命题不正确，如acbd2，可有ac1，b0.8，d1.2，则ab，cd.否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“a
6、b，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可)，此命题不正确，a1，c1，b1.5，d0.5，ab或cd，但acbd.逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab或cd”.逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd两个等式至少有一个不成立”，由原命题为真得此命题显然为真分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若x2y20，则实数x、y全为零变式11(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题逆否命题：两个不全等的三角形的面积
7、不相等，假命题解析：(2)逆命题：若实数x，y全为零，则x2y20，真命题否命题：若x2y20，则实数x，y不全为零，真命题逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2y20，真命题【例2】(改编题)下列各题中，p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)对于实数x、y，p：xy8，q：x2或y6.题型二 充分条件与必要条件的判定解：(1)AB，sin Asin B，即pq；又若sin Asin B，由正弦定理可得ab，AB，即qp，p是q的充要条件(2)其逆否命题为：对于实数x，y，若x2且y6，则xy8，又x2且y6，则xy8显然成立，而xy8时，x2且y6不一
8、定成立，pq，q p，p是q的充分不必要条件sinsinabAB 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空(1)“p:ab 0”是“q:a 0或b 0”的_条件；(2)若非空集合A，B，C满足ABC，且B不是A的子集，则“p：xC”是“q：xA”的_条件；(3)“p：x0”是“q：x0”的_条件变式21(1)必要不充分(2)充分不必要(3)充分不必要解析：(1)等价转化为判断，：a0且b0是：ab0的什么条件a0且b0，则ab0成立，而ab0推不出a0且b0，如a0，b8，是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件(2)ABC，且B不是A的子集，AC，xC xA，
9、但xAxC，即p q，但qp，p是q的必要不充分条件(3)条件p：Ax|x0，条件q：Bx|x0 AB，p是q的充分不必要条件 qqpppqqp【例3】设f(x)为R上的增函数，a，bR，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)是ab0的充要条件题型三 充要条件的证明证明(1)必要性：若ab0，则ab，ba，由于f(x)为R上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，即f(a)f(b)f(a)f(b)(2)充分性：若f(a)f(b)f(a)f(b)，假设ab0，则ab，ba，由于f(x)为R上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，得f(a)f(b)f(a)f(b)与已知矛盾，故a
10、b0.求证：关于x的方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.变式31 充分性：ac0，a0且b24ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2.ac0，a，c异号，x1x20，x1，x2异号，即关于x的方程ax2bxc0有一个正根和一个负根证明必要性：若关于x的方程ax2bxc0有一个正根x1和一个负根x2，则x1x20.x1x2，0，即a、c异号，ac0.综上所述，关于x的方程ax2bxc0有一个正 根和一个负根的充要条件是ac0.caca【例4】已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围题型四 充分条件与必要条件的应用解
11、：方法一：先求出 p：Ax|x10或x2，q：Bx|x1m或x1m p是q的必要不充分条件，BA，它等价于且两个等号不能同时取到，m9.方法二：“p是q必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件设p：Ax|2x10，q：Bx|1mx1m，m0p是q的充分不必要的条件，AB.且两个等号不能同时取到，m9.易错警示【例】若p：x22x30，q：0，则p是q的什么条件？错解 p：x22x301x3，q：02x3，p是q的既不充分又不必要条件216xx216xx错解分析 上述错误解法在于对命题的否定的概念理解错误，误认为：q：0，事实上x2x60也属于q的一部分，这样导致了不等价变换216x
12、x正解：p：x22x30 x1或x3，p：1x3.q：0 x2或x3，q：2x3，p q，但q p，p是q成立的充分不必要条件216xx(2010福建)若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件链接高考知识准备：1.会利用定义判断充要条件，即判断p能否推出q及q能否推出p.若pq，q p，则p是q的充分不必要条件；若pq，qp，则p是q的充要条件；若p q，qp，则p是q的必要不充分条件；若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件；2.知道向量模的公式，若a(x，y)，则|a|.22xyA 解析：若x4，则a(4,3)，|a|5；若|a|5，则x2925，x4.“x4”是“|a|5”的充分不必要条件，选A.