1、2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为1考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：将化为再判断即可解答：解：=是纯虚数，a+1=0且1a0，a=1故答案为：1点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题2（5分）（2013松江区一模）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为4考点：并集及其运算专题：计算题分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得 ，即可得答案解答：解：A=0，2，
2、a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故答案为：4点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题3（5分）经过点（2，1），且与直线2x3y1=0垂直的直线方程是3x+2y4=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：由题意易得直线2x3y1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可解答：解：根据题意，易得直线2x3y1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，1），则所求的直线方程为y+1=（x2），即3x+2y4=0，故答案为：3x+
3、2y4=0点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题4（5分）平面直接坐标系xoy中，角的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=x上，则sin=考点：直线的倾斜角专题：直线与圆分析：因为知道了角的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解解答：解：在直线y=x上任意取一点（a，a），且a0 则，r=2|a|，再由sin=，故答案为点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题5（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一
4、个食堂用餐的概率为考点：相互独立事件的概率乘法公式专题：计算题分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分
5、类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解6（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81考点：循环结构专题：计算题分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写
6、出前几次循环的结果，找规律，属于基础题7（5分）（2012重庆）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值解答：解：C为三角形的内角，cosC=，sinC=，又a=1，b=2，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：c2=1+41=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，
7、由正弦定理=得：sinB=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键8（5分）设向量，的夹角为120，则实数k=3考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：由向量夹角公式可得，cos120=0可知，k0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120=k0整理可得，k2=9k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=39（5分）（2007东城区一模）过点的直线l与圆C：（x1）2+y2=4交于A
8、、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为 2x4y+3=0考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程专题：计算题分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程解答：解：验证知点在圆内，当ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）kCM=2，kl=l：y1=（x），整理得2x4y+3=0故应填2x4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为1，以及用点斜式写出直线的方程10（5分）已知函数f（x）=，若f（32a2）f（a）
9、，则实数a的取值范围是a或a1考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质专题：计算题分析：当x0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0当x0时，y=（）2x1是减函数此时的最小值（）01=0所以函数在R上是减函数因为f（32a2）f（a），所以32a2a，2a2+a30，解得a1或a解答：解：当x0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0当x0时，y=（）2x1是减函数此时的最小值（）01=0所以函数在R上是减函数因为f（32a2）f（a），所以32a2a，2a2+a30，
10、解得a1或a故答案为：a1或a点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用11（5分）设函数f（x）=（x0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=，f3（x）=f（f2（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn（x）=考点：归纳推理专题：归纳法分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=，f3（x）=f（f2（x）=，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数
11、项为2n，一次项的系数比常数项小1，故fn（x）=故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键12（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质专题：计算题；压轴题分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，椭圆变为单位圆：x2+y2=1，F（，0）根据题设条件
12、求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a210acc2=0即e2+10e3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，椭圆变为单位圆：x2+y2=1，F（，0）延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，设T（x，y），则，y=x+1，由割线定理：TB2TA1=TMTN，（负值舍去）易知：B1（0，1）直线B1T方程：令y=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=故答案：点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细
13、解答13（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（mR）有且仅有三个不同的实数根，且，分别是三个根中最小根和最大根，则的值为考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用；三角函数的求值分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1再解方程f（x）=1，得最小根=，最大根=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（，）和（，）；单调增区间为（，）和（，+），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（）=和f（）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1
14、时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（mR）有且仅有三个不同的实数根令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以=，=，sin（+）=sin=（）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题14（5分）（2011盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记Sn=2，Tm=S1+S2+Sm，若Tm11，则m的最大值为5考点：数列与不等式的综合；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：先将数列通项化简，再求和，利用Tm11，即可求得m的最大值解答：解：由题
15、意，an=2=Sn=Tm=S1+S2+Sm=2m+111m的最大值为5故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答应写出必要的文字说明步骤15（14分）（2012湖北模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求的值；（）若，求ABC面积的最大值考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理专题：计算题分析：（）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值解答：（本小题满分13分）解：（I）因
16、为，所以（1分）又=+=（6分）（II）由已知得，（7分）又因为，所以（8分）又因为，所以ac6，当且仅当时，ac取得最大值（11分）此时所以ABC的面积的最大值为（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力16（14分）已知C过点P（1，1），且与M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（1）求C的方程；（2）设Q为C上的一个动点，求的最小值考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算专题：综合题分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又C过点P（1，1），可得半径，故可写出C方程（2）设
17、Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得 a=0，b=0 则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x1，y1）（x+2，y+2）=x2+y2+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，=cos+sin2=2sin（+ ）2，+=2k时，sin（+）的最小值为1，所以 的最小值为22=4点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题17（14分）如图
18、，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为60的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由考点：平面向量数量积坐标表示的应用专题：平面向量及应用分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SCOB于C，则有CSB=30，ASB=60SA=，在RtSAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，CSO=30，在RtSCO中
19、由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设M（cos，sin），0，2），则N（cos，sin），由（）知S（3，），利用向量的数量积的坐标表示可求cosMSN=，1，结合余弦函数的性质可求答案解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SCOB于C，依题意CSB=30，ASB=60又SA=，故在RtSAB中，可求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米（3分）由SC=3，CSO=30，在RtSCO中OC=SCtan30=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向
20、建立平面直角坐标系设M（cos，sin），0，2），则N（cos，sin），由（）知S（3，）（8分）故=（cos3，sin+），=（cos3，sin+），=（cos3）（cos3）+（sin）（sin）=11（10分）|=由0，2）知|11，13（12分）所以cosMSN=，1，MSN60恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的 关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理18（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段
21、OA，MA的中点（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1k2=求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x2，直线BP的方程为联立方程，可得直线
22、DE与BP的交点坐标为（）椭圆C：+=1，（）满足方程，直线DE与直线BP的交点在椭圆C上（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或R的坐标为（，）k1k2=，直线BS的斜率k2=，直线BS的方程为y=x+2解方程组得或S的坐标为（，）R，S关于原点O对称R，O，S三点共线直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19（16分）（2013昌平区二模）设数列an，对任意nN*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常数）（1）当k=0，b=3，p=4时，求a1+a2+a
23、3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列an的通项公式；（3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列an的前n项和，a2a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”an，使得对任意nN*，都有Sn0，且若存在，求数列an的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由考点：数列与不等式的综合；数列递推式专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，从而
24、可求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是等差数列，从而可求数列an的通项公式；（3）确定数列an的通项，利用an是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列an的首项a1的所有取值解答：解：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，3（a1+an+1）4=2（a1+a2+an+an+1），得，3（an+1an）=2an+1，an+1=3an，（2分）在中令n=1得，a1=1，则an0，数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，
25、a1+a2+a3+an=（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+an+an+1），得，（n1）an+1nan+a1=0，（6分）用n+1去代n得，nan+2（n+1）an+1+a1=0，得，nan+22nan+1+nan=0，即an+2an+1=an+1an，（8分）数列an是等差数列a3=3，a9=15，公差，an=2n3（10分）（3）由（2）知数列an是等差数列，a2a1=2，an=a1+2（n1）又an是“封闭数列”，得：对任意m，nN*，必存在pN*使a1+2（n1）+a1+2
26、（m1）=a1+2（p1），得a1=2（pmn+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，故一方面，当时，Sn=n（n+a11）0，对任意nN*，都有另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），则，取n=2，则，不合题意（14分）当a1=4时，Sn=n（n+3），则，当a16时，Sn=n（n+a11）n（n+3），又，a1=4或a1=6或a1=8或a1=10（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题20（16分）已知函数（aR且a0）（）求函数f（x）的单调区间；（） 记函数y=F（x）的图象为曲线C设点A（x1，y1），B（x2
27、，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：；曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题：证明题；新定义分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根
28、据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论解答：解：（）函数f（x）的定义域是（0，+）（1分）由已知得，（2分）（1）当a0时，令f（x）0，解得0x1； 令f（x）0，解得x1所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减（3分）（2）当a0时，当时，即a1时，令f（x）0，解得或x1；令f（x）0，解得所以，函数f（x）在和（1，+）上单调递增，在上单调递减；（4分）当时，即a=1时，显然，函数f（x）在（0，+）上单调递增； （5分）当时，即1a0时，令f（x）0，解得0x1或
29、；令f（x）0，解得所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减（6分）综上所述，（1）当a0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2）当a1时，函数f（x）在和（1，+）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=1时，函数f（x）在（0，+）上单调递增；（4）当1a0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减（7分） （）假设函数f（x）存在“中值相依切线”设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0x1x2，则，=（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f（x0）=，（9分）依题意得：=化简可得：=，即=（11分）设（t1），上式化为：，即（12分）令，=因为t1，显然g（t）0，所以g（t）在（1，+）上递增，显然有g（t）2恒成立所以在（1，+）内不存在t，使得成立综上所述，假设不成立所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”（14分）点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题版权所有：高考资源网()