1、桂林市20202021学年度下学期期末质量检测高二年级数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）说明：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分2请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1函数，则（ ）A0B1CD2设复数，则的实部为（ ）AB2CD3用反证法证明“是无理数”时，正确的假设是（ ）A不是无理数B是整数C不是有理数D是无理数45个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（ ）A24种B36种C48种D72种5（ ）ABCD6在样本频率分布直
2、方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第2组的频率是（ ）A0.4B0.3C0.2D0.17向量，向量，若，则实数（ ）AB1CD8从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之和为偶数”，记事件为“取到的两个数均为偶数”，则（ ）ABCD9若随机变量的分布列如右表所示，则的值为（ ）1230.2A0.1B0.2C0.3D0.410正方体中，与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD11已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A0.0799B0.1587C0.3D0.341312若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD第卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每
3、小题5分，共20分13某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本则样本中高三学生的人数为_14已知为虚数单位，则_15_16在中，是斜边上一点，以为棱折成二面角，其大小为60，则折后线段的最小值为_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10分）在的展开式中，求（1）含的项；（2）展开式中的常数项18（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）设是的极值点，求的极小值19（本小题满分12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（
4、1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值20（本小题满分12分）已知数列的前项和（1）计算，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想21（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望22（本小题满分12分）已知函数（1）若在单调递增，求
5、实数的取值范围；（2）若，且仅有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：桂林市20202021学年度下学期期末质量检测高二年级数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，本题满分共60分题号123456789101112答案BBACAACBBDBA二、填空题：每小题5分，共20分131001415116三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10分）解：（1）由题意知，1，2，3，4，5，6；令，得，所以含的项为（2）由（1）知，得，所以常数项为18（本小题满分12分）解：（1）即，；则，故所求切线方程为，即（2），由题知，解得，则，当
6、时，当时所以当时取极小值19（本小题满分12分）解：（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知由题设知，所以，故，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即所以可取设平面的法向量为，则，即可取于是所以，二面角的余弦值为20（本小题满分12分）解：（1）当时，；当时，；当时，；当时，由此猜想（2）证明：当时，猜想成立假设（且）时，猜想立，即，那么时，当时，猜想成立由知猜想成立21（本小题满分12分）解：（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件，依题意，得3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是（2）由题意可能取值为0，1，2，3，则，；所以，分布列为0123所以的期望22（本小题满分12分）解：（1）在单调递增，在恒成立在恒成立，（2）设，当时，令得：，单调递增，单调递减，若，恒成立，无极值；若，而，此时有两个极值点；故不符合题意当时，单调递减，单调递增，所以有唯一极小值点，当时，恒成立，单调递增；取满足且时，而，此时由零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，且，由题知，又，设，当，单调递减，成立综上，只有一个极值点时，的取值范围为，且