1、第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 (2010模拟精选)若异面直线a，b分别在平面、内，且l，则直线l()A与直线a，b都相交B至少与a，b中的一条相交C至多与a，b中的一条相交D与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若l与a，b都不相交，l与a都在内，al，l与b都在内，bl，ab，与条件矛盾答案：B2一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；EF与MN是异面直线；MNCD，其中正确的是() A B C D解析：如右图所示，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知正确答案：D3 (2010天津模拟)已知异面直线a，b互相垂直，定点P不在直线a，b上，若过
2、P点的直线l与a成25角，则l与b所成角的取值范围为()A0，45) B65，90C45，90) D(0，25解析：将异面直线a、b平移至相交于P点：当平移后的直线a，b与l这三条直线在同一平面内时，取得最小值65，当b垂直a，l所在的平面时，取得最大值90.答案：B4. 如右图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：连结D1C，AC，易证A1BD1C，AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角设AB=1，则AA1=2，AD1=D1C=，AC=，答案：D二、填空题5(2010辽宁大连调研)如图，表示一个正方体表
3、面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对解析：原来的正方体应为右图其中AB与CD、AB与GH、EF和GH三对异面直线答案：36设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面其中真命题的个数是_个解析：ab，bc，a与c可以相交、平行、异面，故错a、b异面，b、c异面，则a、c可能异面、相交、平行，故错由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面，故错同理错，故真命题个数为0个答案：07(200
4、9广东中山调研)如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_解析：取CB中点G，连接EG、FG，EGAB，FGCD.EF与CD所成的角为EFG.又EFAB，EFEG. 在RtEFG中，EG=AB=1，FG=CD=2，sinEFG=，EFG=30.EF与CD所成的角为30.答案：30三、解答题8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EF
5、=A1B，又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形， A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点9. 如右图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边
6、形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？证明：(1)由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)解：C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面，又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面10如图所示，设A是BCD所在平面外一点，ADBC2 cm，E、F分别是AB、CD的中点(1)若EF cm，求异面直线AD和BC所成的角；(2)若EF cm，求异面直线AD和BC所成的角解：如图所示，取AC的中点G，连结EG、FG.E，
7、F分别是AB，CD的中点，EGBC且EG=BC=1 cm，FGAD且FGAD1 cm，EGF即为所求异面直线所成的角或其补角(1)当EF cm时，由EF2EG2FG2，得EGF90.异面直线AD和BC所成的角为90.(2)当EF cm时，在EFG中，取EF的中点H，连结GH，EGGF1 cm，GHEF，EHFH cm，GH cm，得GFHGEH30，FGE120，其补角为60.异面直线AD和BC所成的角为60.1()已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是()A(1)(2)(3)
8、B(1)(4)C(1)(2)(4) D(2)(4)解析：如图(1)，当直线m或直线n在平面内时不可能有符合题意的点；如图(2)，直线m、n到已知平面的距离相等且两直线所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图(3)，直线m、n所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.答案：C2(2010创新题)在平面内，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种已知、是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在上的射影是直线s1，s2，l1，l2在上的射影是直线t1，t2.用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：_.解析：作图易得能成为“l1，l2是异面直线”的充分条件的是“s1s2，并且t1与t2相交”或“t1t2，并且s1与s2相交”答案：s1s2，并且t1与t2相交(或t1t2，并且s1与s2相交)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m