1、课标要点课标要点学考要求高考要求 1.幂函数的概念aa2.幂函数的图象bb3.幂函数的性质bb知识导图学法指导1.能正确区分幂函数与指数函数2学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质3会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.知识点一 幂函数的概念一般地，函数_叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量yxx知识点二 幂函数的图象与性质函数yxyx2yx3yx12y1x定义域RRR_值域R_R_奇偶性奇函数_非奇非偶函数_单调性在 R 上递增在_上递减，在_上递增在 R 上递增在_上递增在(，0)和(0，)上递减图象 过定点_x|x0 x|
2、x0y|y0y|y0y|y0偶函数奇函数奇函数(，0)(0，)(0，)(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0,)上，当 0 时，yx 是增函数；当 1)其中幂函数的个数为()A1 B2 C3 D4(2)若函数 y(m22m2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则 m 的值为()A1 B3 C1 D3(3)已知幂函数 f(x)的图象经过点3，19，则 f(4)_.【解析】(1)为指数函数，中系数不是 1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数(2)因为函数 y(m22m2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以m22m21，m0，所以 m1.(3)设 f(x)x，
3、所以193，2，所以 f(4)42 116.【答案】(1)B(2)A(3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断(2)依据幂函数的定义列方程求 m.(3)先设 f(x)x，再将点(3，19)代入求 .方法归纳(1)幂函数的判断方法幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如 yx(R)的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断(2)求幂函数解析式的依据及常用方法依据若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式
4、为 f(x)x，根据条件求出.跟踪训练 1(1)给出下列函数：y1x3；y3x2；yx4x2；y3 x5；y(x1)2；y0.3x.其中是幂函数的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(2)函数 f(x)(m2m1)x23mm 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断在所给出的六个函数中，只有 y1x3x3 和 y3 x5x53 符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数(2)根据幂函数定义得 m2m11，解得 m2 或 m1，当 m2 时，f(x)x3 在(0，)上是增函数，当 m1 时，f(x)x3 在(0，)
5、上是减函数，不合要求故 f(x)x3.答案：(1)B(2)f(x)x3(1)利用幂函数定义判断(2)由幂函数的系数为 1，求 m 的值，然后逐一验证类型二 幂函数的图象及应用例 2(1)在同一坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是()(2)幂函数 yxm，yxn，yxp，yxq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“0)中 a1，g(x)logax 中 0a0)中0a1，不符合题意；对 D，f(x)xa(x0)中 0a1，g(x)logax 中 0a0，不过原点的 0，所以 n1 时，在直线 yx 上方的 1，下方的 1,0m1,0q1 时，指数越大，
6、图象越高，所以 mq，综上所述 nqmp.【答案】(1)D(2)nqmp(1)分 0a1 两种情况讨论,同时应注意幂函数的图象必过点(1,1)(2)依据 0,01 的幂函数图象的特征判断方法归纳 根据幂函数的图象比较指数的大小，可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断，也可利用特征，如令 x2，作出直线 x2 与各图象的交点，由指数函数 y2x 的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系跟踪训练 2 当 1，12，1，2，3 时，幂函数 yx 的图象不可能经过第_象限解析：幂函数 yx1，yx，yx3 的图象经过第一、三象限；yx12的图象经过第一象限；yx2 的图象经过第一、二象限所以幂函数
7、 yx1，12，1，2，3 的图象不可能经过第四象限答案：四,要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点类型三 利用幂函数的性质比较大小例 3(1)设 a3525，b2535，c2525，则 a，b，c 的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca(2)比较下列各组数中两个数的大小1878 与1978 352 与 3.152 2334 与3423.【解析】(1)因为 yx25(x0)为增函数，所以 ac.因为 y25x(xR)为减函数，所以 cb.所以 acb.(2)函数 yx78 在(0，)上单调递增，又1819，所以1878 1978.yx52 在(0，)上为减函数，又 33.1
8、52.因为函数 y123x 为减函数，又3423，所以2323 2334.又因为函数 y2x23 在(0，)上是增函数，且3423，所以3423 2323，所以3423 2334.【答案】(1)A(2)见解析(1)用函数 yx25的单调性判断 a 与 c 的大小，用函数 y(25)x 的单调性，判断 c 与 b 的大小(2)在解决与幂函数有关的比较大小的问题时，可借助幂函数、指数函数的单调性或取中间量进行比较方法归纳 比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性
9、，也可以借助幂函数与指数函数的图象跟踪训练 3 比较下列各题中两个幂值的大小(1)3.11.3 与 2.91.3；(2)1432 与1332；(3)1213 与3214.解析：(1)函数 yx1.3 在(0，)上为增函数，又因为 3.12.9，所以 3.11.32.91.3.(2)方法一 函数 yx32在(0，)上为减函数，又因为141332.方法二 1432 432，1332 332.而函数 yx32 在(0，)上单调递增，且 43，所以 432 332，即1432 1332.(3)因为12133201；所以1213 3214.(1)利用函数 yx1.3 的单调性来判断(2)利用函数 yx23的单调性来判断(3)找中间量判断.